Οι πρώτες μέρες του λογισμού: κριτικές, παρεξηγήσεις και ένα «φάντασμα ανακλημένων ποσοτήτων»
Οι απαρχές του σύγχρονου λογισμού δεν ήταν καθόλου ομαλές. Στις αρχές του 18ου αιώνα, τόσο οι μέθοδοι του Νεύτωνα όσο και του Λάιμπνιτς υπήρξαν επαναστατικές, αλλά ταυτόχρονα θολές ως προς τη θεμελίωση. Η βασική ιδέα των απειροελάχιστων — ποσοτήτων «απείρως μικρών αλλά όχι μηδενικών» — γοήτευε, αλλά και προβλημάτιζε όσους αναζητούσαν αυστηρότητα.
🔹 Ο Επίσκοπος Μπέρκλεϋ και η διάσημη κριτική του
Ο Επίσκοπος Τζορτζ Μπέρκλεϋ, φιλόσοφος και ακαδημαϊκός (από τον οποίο πήρε το όνομά της η πόλη Berkeley και το πανεπιστήμιο), μελετούσε τα έργα του Νεύτωνα και του Λάιμπνιτς. Αν και αναγνώριζε την ακρίβεια των αποτελεσμάτων του λογισμού, θεωρούσε τις μεθόδους τους προβληματικές.
Αποκάλεσε τις «ροές» του Νεύτωνα — δηλαδή τις απειροελάχιστες ποσότητες που μεταβάλλονται — με τη διάσημη φράση:
«Ghosts of departed quantities» – «φαντάσματα ανακλημένων ποσοτήτων»
Με αυτό εννοούσε ότι οι απειροελάχιστες παρουσιάζονται, χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό και στη συνέχεια… «εξαφανίζονται» σαν να μην υπήρξαν ποτέ. Για τον Μπέρκλεϋ αυτό ήταν φιλοσοφικά και μαθηματικά απαράδεκτο.
🔹 Κριτική, σύγχυση και ανάγκη για σταθερές βάσεις
Ο Μπέρκλεϋ δεν ήταν ο μόνος επικριτής. Πολλοί μαθηματικοί και φιλόσοφοι της εποχής συμφωνούσαν πως, αν και ο λογισμός λειτουργούσε, η λογική του βάση ήταν ασαφής.
Χρειάστηκαν περίπου 200 χρόνια για να αποκατασταθεί η αυστηρή θεμελίωση του λογισμού μέσω της έννοιας του ορίου.
Αν και ιστορικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι η σωστή ιδέα ήταν διαθέσιμη γύρω στα 160 χρόνια μετά τον Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς, ένα κρίσιμο έργο χάθηκε και έτσι άργησε να αναγνωριστεί.
🔹 Η λύση: το όριο
Στα μέσα του 19ου αιώνα, οι Cauchy, Weierstrass και άλλοι μαθηματικοί έδωσαν τον πρώτο πλήρως αυστηρό ορισμό του ορίου, εξαλείφοντας τις «φαντασματικές» απειροελάχιστες. Έτσι, ο λογισμός απέκτησε τις στέρεες θεμελιώσεις που χρησιμοποιούμε μέχρι σήμερα.
The Early Days of Calculus: Criticism, Confusion, and a “Ghost of Departed Quantities”
The beginnings of modern calculus were far from smooth. In the early 18th century, the revolutionary methods of Newton and Leibniz introduced infinitesimals—quantities “infinitely small yet not zero”—which fascinated mathematicians but raised serious concerns about rigor.
🔹 Bishop Berkeley and His Famous Critique
Bishop George Berkeley, the philosopher and academic (after whom the city and university of Berkeley are named), studied the works of Newton and Leibniz closely. Although he accepted the correctness of calculus results, he found the underlying methods philosophically questionable.
He famously called Newton’s fluxions — essentially infinitesimals —:
“Ghosts of departed quantities.”
By this he meant that infinitesimals appear in the calculations, play a crucial role, and then mysteriously disappear as if they never existed. To Berkeley, this was mathematically incoherent.
🔹 Criticism and the Need for Rigor
Berkeley was far from alone. Many thinkers agreed that while calculus clearly worked, its foundations were murky.
It took mathematicians roughly two centuries to arrive at a fully rigorous definition of a limit.
Realistically, the essential idea was available around 160 years after Newton and Leibniz, but a key manuscript was lost, delaying its wider recognition.
🔹 The Resolution: The Limit
By the mid-19th century, through the work of Cauchy, Weierstrass and others, the formal ε–δ definition of limits replaced infinitesimals. Calculus finally gained the rigorous foundations that it still rests on today.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου