Pascal Triangle – Consecutive Binomial Coefficients in Ratio 1:2:3

Πασκάλ: Τρεις συνεχόμενοι συντελεστές σε λόγο 1 : 2 : 3

Ερώτηση: Βρείτε τρεις συνεχόμενους συντελεστές μιας γραμμής του Τριγώνου του Pascal που βρίσκονται σε λόγο 1 : 2 : 3.

Λύση

Αν η τριάδα είναι: \[ \binom{n}{r},\; \binom{n}{r+1},\; \binom{n}{r+2} \] και ο λόγος είναι \(1:2:3\), τότε:

\[ \frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n}{r}} = \frac{n-r}{r+1} = 2 \] \[ \frac{\binom{n}{r+2}}{\binom{n}{r+1}} = \frac{n-r-1}{r+2} = \frac{3}{2} \]

Από αυτές τις δύο σχέσεις προκύπτει το σύστημα:

\[ \begin{cases} 2(n-r) = 2(r+1) \\[4pt] 3(r+2) = 2(n-r-1) \end{cases} \] Λύνοντας, βρίσκουμε: \[ n = 14,\qquad r = 4 \]

Άρα η μοναδική τριάδα του Pascal που βρίσκεται στον λόγο 1 : 2 : 3 είναι

\[ \binom{14}{4},\;\binom{14}{5},\;\binom{14}{6} \]

Αριθμητικά:

\[ 1001,\; 2002,\; 3003 \] ---

✏ Άσκηση για τον αναγνώστη

Μπορείς να βρεις **τέσσερις** συνεχόμενους όρους μιας Πασκάλ γραμμής σε λόγο 1 : 2 : 3 : 4;

Pascal Triangle: Three Consecutive Terms in Ratio 1 : 2 : 3

Question: Find three consecutive entries in a row of Pascal’s triangle that are in ratio 1 : 2 : 3.

Solution

Let the three terms be: \[ \binom{n}{r},\; \binom{n}{r+1},\; \binom{n}{r+2} \] with ratio \(1:2:3\). Then: \[ \frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n}{r}} = \frac{n-r}{r+1} = 2, \qquad \frac{\binom{n}{r+2}}{\binom{n}{r+1}} = \frac{n-r-1}{r+2} = \frac{3}{2} \] Solving the resulting system yields: \[ n = 14,\qquad r = 4 \]

Therefore, the only Pascal triple with ratio 1:2:3 is

\[ \binom{14}{4},\;\binom{14}{5},\;\binom{14}{6} = 1001,\; 2002,\; 3003 \] ---

Exercise

Find **four** consecutive binomial coefficients in the ratio 1 : 2 : 3 : 4.