Right Triangle Recursive Fractal — The Geometric “Flower of Life”

Πηγή εικόνας: matematyczny-swiat

Γεωμετρική Ακολουθία Ορθογώνιων Τριγώνων — Φράκταλ «Λουλούδι της Ζωής»

Ξεκινάμε από ένα τετράγωνο. Στη συνέχεια ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του δύο-δύο. Έτσι προκύπτει ένα νέο τετράγωνο, στραμμένο κατά $45^\circ$. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία επ' άπειρον, δημιουργείται μια ακολουθία τετραγώνων που ολοένα μικραίνουν.

Σε κάθε βήμα σχηματίζονται ορθογώνια τρίγωνα μεταξύ:

• της κορυφής του αρχικού τετραγώνου,
• της ορθής γωνίας του νέου τετραγώνου,
• και του κέντρου της κατασκευής.

Τα τρίγωνα αυτά χρωματίζονται εναλλάξ κόκκινο–κίτρινο, δημιουργώντας ένα σπειροειδές φράκταλ.

🧩 Υπολογισμός Εμβαδού

Αν $A_0$ είναι το εμβαδόν του αρχικού τετραγώνου, τότε κάθε νέο τετράγωνο έχει πλευρά $$\frac{1}{\sqrt{2}}$$ του προηγούμενου ⇒ άρα εμβαδό $$A_{n} = \frac{A_0}{2^n}.$$ Κάθε ζεύγος τριγώνων καλύπτει το μισό της διαφοράς των τετραγώνων: $$T_n = \frac{A_{n}-A_{n+1}}{2}.$$ Άρα η συνολική επιφάνεια που χρωματίζεται είναι: $$\sum_{n=0}^{\infty}T_n = \frac{A_0}{2}.$$ > **Δηλαδή το φράκταλ καλύπτει ακριβώς το μισό αρχικό τετράγωνο!**

ΣΥΝΟΨΗ
• Κάθε τετράγωνο έχει εμβαδό $A_0/2^n$.
• Κάθε στάδιο παράγει 2 ορθογώνια τρίγωνα.
• Το σύνολο των τριγώνων καλύπτει το 50% του αρχικού τετραγώνου.
• Το σχήμα τείνει σε φράκταλ — «Άνθος της Ζωής».

Recursive Right-Triangle Fractal — Geometric “Flower of Life”

We begin with a square. Connecting the midpoints of its sides produces a new, rotated square. Repeating this indefinitely generates a shrinking sequence of squares.

Right triangles appear between:

• the vertex of the outer square,
• the right angle of the next square,
• and the centre point.

Colouring them alternately red–yellow forms a spiral fractal pattern.

🧩 Area Calculation

If $A_0$ is the area of the original square, then each new square has area $$A_{n} = \frac{A_0}{2^n}.$$ Two triangles are formed per stage: $$T_n = \frac{A_{n}-A_{n+1}}{2}.$$ Total coloured area: $$\sum_{n=0}^{\infty}T_n = \frac{A_0}{2}.$$ > The fractal covers exactly **half of the original square**.

SUMMARY
• Each square area = $A_0/2^n$.
• 2 right triangles form per iteration.
• Total coloured surface = 50% of the starting square.
• A pure geometric fractal structure emerges.

Contest Questions

1) Find total area of the red triangles only.
2) Prove that all triangles maintain constant side-ratio.
3) Compute diameter of final square after $n$ steps.