RMO 2010: Απόδειξη ότι a=b=c για τρία τετραγωνικά πολυώνυμα με κοινή τιμή

Έστω

$$P_1(x)=ax^2-bx-c,\quad P_2(x)=bx^2-cx-a,\quad P_3(x)=cx^2-ax-b$$

τρία τετραγωνικά πολυώνυμα, όπου $a, b, c$ είναι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί.
Αν υπάρχει πραγματικός αριθμός $\alpha$ τέτοιος ώστε

$$P_1(\alpha)=P_2(\alpha)=P_3(\alpha),$$

να αποδείξετε ότι $a=b=c$.

India RMO 2010 P2