Why Drones Fly Using Vectors and Control Theory

🇬🇷 Γνωρίζετε ότι… (Μαθηματικά στην Καθημερινότητα)
Γιατί τα drone πετούν με διανύσματα και ελέγχους

Όταν βλέπεις ένα drone να πετά σταθερά, να στρίβει ομαλά ή να κρατιέται ακίνητο στον αέρα, έχεις μπροστά σου καθαρή εφαρμογή διανυσμάτων και θεωρίας ελέγχου.

Δεν πετά «από ένστικτο». Κάνει χιλιάδες μαθηματικούς υπολογισμούς κάθε δευτερόλεπτο, για να ισορροπήσει σε έναν κόσμο γεμάτο αβεβαιότητες: άνεμο, δονήσεις, βάρος, μετατόπιση.

🚁 1. Κάθε κίνηση ενός drone είναι άθροισμα διανυσμάτων

Κάθε έλικας παράγει μια δύναμη προς τα πάνω. Η συνολική δύναμη είναι:

\[ \vec F_{\text{ολ}} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 + \vec F_4 \]

Αν το άθροισμα της δύναμης:

• είναι ίσο με το βάρος → το drone κάνει hover (μένει σταθερό στον αέρα),
• είναι μεγαλύτερο → το drone ανεβαίνει,
• είναι μικρότερο → το drone κατεβαίνει.

Η πτήση είναι ουσιαστικά ένας συνεχής διανυσματικός υπολογισμός.

🔄 2. Οι στροφές (yaw, pitch, roll) είναι διανυσματικές ροπές

Ένα drone έχει τρεις βασικές γωνιακές κινήσεις:

• roll: κλίση δεξιά–αριστερά,
• pitch: κλίση μπρος–πίσω,
• yaw: περιστροφή γύρω από τον κατακόρυφο άξονα.

Αυτές οι κινήσεις περιγράφονται με ροπές:

\[ \vec \tau = \vec r \times \vec F \]

Αν ένας έλικας αλλάξει ελαφρά ταχύτητα, δημιουργεί νέα ροπή → νέα κλίση → νέα κατεύθυνση. Όλα αυτά είναι πράξεις με διανύσματα.

♻️ 3. Ο σταθερός προσανατολισμός γίνεται με PID control

Για να μείνει σταθερό, το drone «ελέγχει τον εαυτό του» συνεχώς με έναν αλγόριθμο PID (Proportional–Integral–Derivative):

\[ u(t) = K_P\, e(t) + K_I \int e(t)\, dt + K_D \frac{d e(t)}{d t} \]

όπου:

• e(t) = απόκλιση από την επιθυμητή στάση (λάθος),
• u(t) = διόρθωση που στέλνεται στους έλικες.

Ο PID είναι ο λόγος που το drone:

• δεν αναποδογυρίζει,
• δεν ταλαντώνεται ανεξέλεγκτα,
• μένει σταθερό ακόμα και όταν φυσάει.

🌪️ 4. Ο άνεμος αντιμετωπίζεται ως στοχαστική διαταραχή

Ο άνεμος δημιουργεί μια εξωτερική δύναμη \(\vec W\). Η κάμερα, το GPS και οι αισθητήρες IMU εκτιμούν την απόκλιση από την επιθυμητή θέση και ο controller υπολογίζει μια δύναμη διόρθωσης:

\[ \vec F_{\text{διόρθωσης}} = - \vec W \]

Δηλαδή, το drone «αντισταθμίζει» τις διαταραχές. Αυτό είναι κλασικό παράδειγμα θεωρίας ελέγχου στοχαστικών συστημάτων.

🧭 5. Η πλοήγηση είναι πρόβλημα διανυσματικής πορείας

Όταν ορίζεις μια διαδρομή, το drone την μετατρέπει σε διανύσματα θέσης:

\[ \vec p(t) = \big(x(t),\, y(t),\, z(t)\big) \]

και ακολουθεί την πορεία υπολογίζοντας συνεχώς:

\[ \vec v(t) = \frac{d \vec p(t)}{d t}, \qquad \vec a(t) = \frac{d \vec v(t)}{d t} \]

Άρα όλη η κίνηση είναι μια διανυσματική ανάλυση στο χώρο.

🔋 6. Ακόμη και η ενέργεια υπολογίζεται με δυναμικά μοντέλα

Το drone εκτιμά τον χρόνο πτήσης που απομένει με βάση το ρεύμα που καταναλώνεται, την επιτάχυνση και τις συνθήκες (π.χ. άνεμος):

\[ T_{\text{remaining}} = f(\text{ρεύμα},\, \text{επιτάχυνση},\, \text{άνεμος},\, \dots) \]

και αποφασίζει πότε πρέπει να επιστρέψει πριν αδειάσει η μπαταρία. Άλλο ένα πρόβλημα στοχαστικού ελέγχου.

🧮 Συμπέρασμα

Τα drone δεν είναι απλά «παιχνίδια». Είναι μαθηματικές μηχανές που χρησιμοποιούν:

• διανύσματα δυνάμεων και ροπών,
• διαφορικές εξισώσεις,
• PID controllers,
• στοχαστικές διορθώσεις,
• δυναμικά μοντέλα για ενέργεια και πτήση.

Κάθε τους κίνηση είναι αποτέλεσμα συνεχούς μαθηματικού υπολογισμού. Τα drone πετούν επειδή… τα μαθηματικά τα κρατούν στον αέρα.

🇬🇧 Did you know that… (Mathematics in Everyday Life)
Why drones fly using vectors and control theory

When you see a drone flying steadily, turning smoothly, or holding its position in mid-air, you are looking at a pure application of vectors and control theory.

It does not fly “by instinct”. It performs thousands of mathematical calculations every second in order to balance itself in a world full of uncertainties: wind, vibrations, weight, displacement.

🚁 1. Every motion of a drone is a sum of vectors

Each rotor produces an upward force. The total force is:

\[ \vec F_{\text{tot}} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 + \vec F_4 \]

If the sum of the forces:

• is equal to the weight → the drone hovers,
• is greater → the drone climbs,
• is smaller → the drone descends.

Flight is essentially a continuous vector computation.

🔄 2. Rotations (yaw, pitch, roll) are vector torques

A drone has three basic angular motions:

• roll: tilting to the right–left,
• pitch: tilting forward–backward,
• yaw: rotation around the vertical axis.

These motions are described by torques:

\[ \vec \tau = \vec r \times \vec F \]

If one rotor slightly changes its speed, it creates a new torque → a new tilt → a new direction. All of this is done using vectors.

♻️ 3. Stable orientation is achieved with PID control

To remain stable, the drone continuously “controls itself” using a PID (Proportional–Integral–Derivative) algorithm:

\[ u(t) = K_P\, e(t) + K_I \int e(t)\, dt + K_D \frac{d e(t)}{d t} \]

where:

• e(t) = deviation from the desired attitude (error),
• u(t) = correction sent to the rotors.

The PID controller is the reason why the drone:

• does not flip over,
• does not oscillate uncontrollably,
• remains stable even when the wind blows.

🌪️ 4. Wind is treated as a stochastic disturbance

Wind creates an external force \(\vec W\). The camera, GPS and IMU sensors estimate the deviation from the desired position, and the controller computes a correction force:

\[ \vec F_{\text{corr}} = - \vec W \]

In other words, the drone compensates for disturbances. This is a typical example of control theory for stochastic systems.

🧭 5. Navigation is a vector path problem

When you define a route, the drone turns it into position vectors:

\[ \vec p(t) = \big(x(t),\, y(t),\, z(t)\big) \]

and follows the path by continuously computing:

\[ \vec v(t) = \frac{d \vec p(t)}{dt}, \qquad \vec a(t) = \frac{d \vec v(t)}{dt} \]

So its motion is a full vector analysis in space.

🔋 6. Even energy is computed with dynamic models

The drone estimates the remaining flight time based on the current drawn, the acceleration and the conditions (e.g. wind):

\[ T_{\text{remaining}} = f(\text{current},\, \text{acceleration},\, \text{wind},\, \dots) \]

and decides when it must return before the battery runs out. This is yet another stochastic control problem.

🧮 Conclusion

Drones are not just “toys”. They are mathematical machines that use:

• force and torque vectors,
• differential equations,
• PID controllers,
• stochastic corrections,
• dynamic models for energy and flight.

Every single movement is the result of continuous mathematical computation. Drones fly because… mathematics keep them in the air.