A Cubic Challenge: Finding a Cubic Function with Given Extrema

Μια Κυβική Πρόκληση

Ας δούμε μια όμορφη και ουσιαστική μαθηματική πρόκληση: να βρούμε μια κυβική συνάρτηση που να έχει μέγιστο και ελάχιστο σε δεδομένες θέσεις, αρχικά χωρίς τη χρήση λογισμού. Το πρόβλημα προέρχεται από το πρόγραμμα AP Precalculus και δείχνει πώς διαφορετικές μαθηματικές προσεγγίσεις — γραφικές, αλγεβρικές και αναλυτικές — οδηγούν τελικά στο ίδιο αποτέλεσμα.

Η εκφώνηση

Δίνονται τα σημεία (−1, 18) και (3, 2). Ζητείται να βρεθεί μια κυβική συνάρτηση που να διέρχεται από αυτά τα σημεία, με το πρώτο να είναι τοπικό μέγιστο και το δεύτερο τοπικό ελάχιστο, χωρίς χρήση παραγώγων.

Το σημείο καμπής

Για κάθε κυβική συνάρτηση που έχει τοπικό μέγιστο και ελάχιστο, το σημείο καμπής βρίσκεται ακριβώς στο μέσο των x-συντεταγμένων και y-συντεταγμένων των δύο αυτών σημείων. Εδώ προκύπτει φυσικά το σημείο (1, 10).

Έξυπνη αλγεβρική ιδέα

Αν μεταφέρουμε το σημείο καμπής στην αρχή των αξόνων, η κυβική συνάρτηση αποκτά συμμετρία και μπορεί να γραφεί ως περιττή συνάρτηση. Έτσι, με κατάλληλες μετατοπίσεις, καταλήγουμε στη μορφή:

y = a(x − 1)³ − b(x − 1) + 10

Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι στο x = 3 έχουμε τοπικό ελάχιστο, το αντίστοιχο μηδενικό γίνεται διπλό, γεγονός που οδηγεί σε παραγοντοποίηση και τελικά στον υπολογισμό των συντελεστών.

Το τελικό αποτέλεσμα

Η κυβική συνάρτηση που ικανοποιεί όλες τις συνθήκες είναι:

y = 0.5x³ − 1.5x² − 4.5x + 15.5

Η ίδια συνάρτηση μπορεί να γραφεί σε πολλές ισοδύναμες μορφές, όπως:

• y = 12(x − 1)³ − 6(x − 1) + 10
• y = 12(x + 3)(x − 3)² + 2
• y = 12x³ − 32x² − 92x + 312

Διαφορετικές μέθοδοι — ίδιο αποτέλεσμα. Και αυτό είναι το πραγματικό μάθημα της πρόκλησης.

A Cubic Challenge

Let us explore an elegant mathematical challenge: finding a cubic function with a prescribed maximum and minimum, initially without using calculus. The problem comes from the AP Precalculus curriculum and beautifully illustrates how graphical, algebraic, and analytic approaches all converge to the same result.

The problem

We are given the points (−1, 18) and (3, 2). The task is to find a cubic function passing through these points, assuming the first is a local maximum and the second a local minimum, without derivatives.

The inflection point

For any cubic function with both a local maximum and minimum, the inflection point lies exactly halfway between them. In this case, it is the point (1, 10).

A clever algebraic idea

By translating the graph so that the inflection point moves to the origin, the cubic becomes symmetric and takes the form of an odd function. Translating back yields:

y = a(x − 1)³ − b(x − 1) + 10

Since x = 3 corresponds to a local minimum, it becomes a double root after vertical translation. This algebraic fact allows us to determine the coefficients precisely.

The final result

The cubic function satisfying all conditions is:

y = 0.5x³ − 1.5x² − 4.5x + 15.5

It can also be written in several equivalent forms:

• y = 12(x − 1)³ − 6(x − 1) + 10
• y = 12(x + 3)(x − 3)² + 2
• y = 12x³ − 32x² − 92x + 312

Different methods — same answer. That is the real beauty of this challenge.