Γρίφος με Καραμέλες και Υπόλοιπα
Ο Ηλίας, που έχει 10 φίλους, κάνει τις παρακάτω δηλώσεις για τις καραμέλες που έχει:
- Αν μοιράσω τις καραμέλες μου ισόποσα σε 8 φίλους, τότε περισσεύουν 3 καραμέλες.
- Αν μοιράσω όλες τις καραμέλες μου ισόποσα σε 5 φίλους, τότε δεν περισσεύει καμία.
Ο αριθμός καραμελών του Ηλία είναι ένας τριψήφιος φυσικός αριθμός με εκατοντάδες ψηφίο το 3.
Ερώτημα: Ποιο είναι το άθροισμα των τιμών που μπορεί να πάρει το ψηφίο των δεκάδων αυτού του αριθμού;
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13
2 σχόλια:
Το άθροισμα των τιμών που μπορεί να πάρει το ψηφίο των δεκάδων αυτού του αριθμού είναι 15 (1+5+9), το οποίο δεν αναφέρεται στις επιλογές.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω N ο αριθμός καραμελών του Ηλία.
Από την εκφώνηση έχουμε:
1. Αν μοιράσει τις καραμέλες σε 8 φίλους και περισσεύουν 3:
N≡3(mod8)
2. Αν μοιράσει όλες τις καραμέλες σε 5 φίλους χωρίς υπόλοιπο:
N≡0(mod5)
Εύρεση του αριθμού με χρήση Ε.Κ.Π.
Ε.Κ.Π.(8,5)=8*5=40
Ψάχνουμε αριθμό της μορφής 8k+3 που να είναι πολλαπλάσιο του 5:
3, 11, 19, 27, 35, 43,…,n
Ο πρώτος τέτοιος αριθμός είναι το 35.
Περιορισμός τριψήφιου αριθμού
Ο αριθμός N είναι τριψήφιος με τον αριθμό 3 το ψηφίο των εκατοντάδων, δηλαδή:
300≤N≤399
Ο αριθμός:
• Αφήνει υπόλοιπο 3 όταν διαιρείται με το 8.
• Διαιρείται ακριβώς με το 5.
Βήμα 1: Πολλαπλάσια του 5 στο διάστημα 300–399
Γράφουμε τα πολλαπλάσια του 5:
300,305,310,315,320,325,330,335,340,345,350,355,360,365,370,375,380,385,
390,395
Βήμα 2: Έλεγχος διαίρεσης με το 8
Ελέγχουμε ποιος από τους ανωτέρω αριθμούς αφήνουν υπόλοιπο 3 όταν διαιθούν με το 8:
Βλέπουμε ότι οι μόνοι αριθμοί που ικανοποιούν τη συνθήκη όταν διαιρεθούν με το 8 και αφήνουν υπόλοιπο 3 είναι οι αριθμοί:
315,355,395
Βήμα 3: Ψηφίο Δεκάδων
• 315: Ψηφίο Δεκάδων 1
• 355: Ψηφίο Δεκάδων 5
• 395: Ψηφίο Δεκάδων 9
Άθροισμα των τιμών των ψηφίων Δεκάδων:
1+5+9=15
Επαλήθευση:
ΑπάντησηΔιαγραφή315:8=39 υπόλοιπο 3
355:8=44 υπόλοιπο 3
395:8=49 υπόλοιπο 3
315:5=63
355:5=71
395:5=79