Custom Operation Puzzle – Associative or Commutative?

Γρίφος Πράξης: Είναι Αντιμεταθετική ή και Προσεταιριστική;

Εκφώνηση

Μια πράξη ⊛ ορίζεται στα θετικά πραγματικά από τον τύπο

\(x \,\circledast\, y = \dfrac{Cxy}{x + y}\),

όπου \(C > 0\), αλλά η ακριβής τιμή του \(C\) είναι άγνωστη.

Λέμε ότι η ⊛ είναι αντιμεταθετική (commutative) αν \(x \circledast y = y \circledast x\) για όλα τα θετικά \(x,y\), και ότι είναι προσεταιριστική (associative) αν \(x \circledast (y \circledast z) = (x \circledast y) \circledast z\) για όλα τα θετικά \(x,y,z\).

Ποιο από τα παρακάτω είναι σωστό;

(A) Χωρίς να ξέρουμε το C, δεν μπορούμε να πούμε αν η ⊛ είναι προσεταιριστική ή αντιμεταθετική.
(B) Η ⊛ είναι προσεταιριστική για κάθε C, αλλά χωρίς να ξέρουμε το C δεν μπορούμε να πούμε αν είναι αντιμεταθετική.
(C) Η ⊛ είναι αντιμεταθετική για κάθε C, αλλά χωρίς να ξέρουμε το C δεν μπορούμε να πούμε αν είναι προσεταιριστική.
(D) Η ⊛ είναι και προσεταιριστική και αντιμεταθετική, ό,τι κι αν είναι το C.
(E) Κανένα από τα παραπάνω.

Λύση

1. Έλεγχος αντιμεταθετικότητας (commutativity)

Υπολογίζουμε:

\(x \circledast y = \dfrac{Cxy}{x+y}\),
\(y \circledast x = \dfrac{Cyx}{y+x} = \dfrac{Cxy}{x+y}\).

Οι δύο εκφράσεις είναι ίδιες για κάθε \(x,y>0\) και κάθε \(C>0\). Άρα η πράξη είναι πάντα αντιμεταθετική, ανεξάρτητα από το C.

2. Έλεγχος προσεταιριστικότητας (associativity)

Υπολογίζουμε πρώτα:

\(y \circledast z = \dfrac{Cyz}{y+z}\).

Τότε:

\(x \circledast (y \circledast z) = \dfrac{Cx \cdot \dfrac{Cyz}{y+z}}{x + \dfrac{Cyz}{y+z}} = \dfrac{C^2 xyz}{xy + xz + C yz}.\)

Από την άλλη:

\(x \circledast y = \dfrac{Cxy}{x+y}\),

\((x \circledast y) \circledast z = \dfrac{C \cdot \dfrac{Cxy}{x+y} \cdot z}{\dfrac{Cxy}{x+y} + z} = \dfrac{C^2 xyz}{Cxy + Cxz + yz}.\)

Για να είναι η πράξη προσεταιριστική, πρέπει οι παρονομαστές να είναι ίσοι για όλα τα \(x,y,z\gt 0\):

\(xy + xz + C yz = Cxy + Cxz + yz.\)

Συγκρίνοντας συντελεστές στα \(xy,\ xz,\ yz\) παίρνουμε:

\(1 = C,\quad 1 = C,\quad C = 1.\)

Άρα η μόνη τιμή που δουλεύει είναι:

\(C = 1\).

Συνεπώς η ⊛ είναι:

• αντιμεταθετική για κάθε C>0,
• προσεταιριστική μόνο όταν C = 1.

Σωστή επιλογή: (C).

Operation Puzzle: Is It Associative or Commutative?

Problem

An operation ⊛ is defined on the positive real numbers by the formula

\(x \,\circledast\, y = \dfrac{Cxy}{x + y}\),

where \(C > 0\), but the value of C is unknown. We say that ⊛ is commutative if \(x ⊛ y = y ⊛ x\) for all positive real numbers x and y; we say that ⊛ is associative if \(x ⊛ (y ⊛ z) = (x ⊛ y) ⊛ z\) for all positive real numbers x, y, and z. Which of the following is true?

(A) Without knowing the value of C, we cannot say whether ⊛ is associative or commutative.
(B) ⊛ is associative no matter what C is, but without knowing C we cannot say whether ⊛ is commutative.
(C) ⊛ is commutative no matter what C is, but without knowing C we cannot say whether ⊛ is associative.
(D) ⊛ is both associative and commutative no matter what C is.
(E) None of the above.

Solution

1. Commutativity

Compute:

\(x ⊛ y = \dfrac{Cxy}{x+y},\quad y ⊛ x = \dfrac{Cyx}{y+x} = \dfrac{Cxy}{x+y}.\)

The two expressions are equal for all \(x,y>0\) and all \(C>0\), so the operation is always commutative.

2. Associativity

First \(y ⊛ z = \dfrac{Cyz}{y+z}\). Then

\(x ⊛ (y ⊛ z) = \dfrac{Cx \cdot \dfrac{Cyz}{y+z}}{x + \dfrac{Cyz}{y+z}} = \dfrac{C^2 xyz}{xy + xz + C yz}.\)

Next \(x ⊛ y = \dfrac{Cxy}{x+y}\), so

\((x ⊛ y) ⊛ z = \dfrac{C \cdot \dfrac{Cxy}{x+y} \cdot z}{\dfrac{Cxy}{x+y} + z} = \dfrac{C^2 xyz}{Cxy + Cxz + yz}.\)

For associativity we need the denominators to be equal for all \(x,y,z>0\):

\(xy + xz + C yz = Cxy + Cxz + yz.\)

Comparing coefficients of \(xy, xz, yz\) gives \(1 = C\), \(1 = C\), \(C = 1\), hence

\(C = 1.\)

So ⊛ is

• commutative for every C > 0,
• associative only when C = 1.

Correct choice: (C).