Heart Geometry Puzzle: Find the Area of the Heart (π = 22/7)

Πόσο μεγάλο είναι το εμβαδό της καρδιάς;

Το πορτοκαλί εμβαδό του σχήματος είναι 91. Η καρδιά αποτελείται από ένα τετράγωνο και δύο ημικύκλια. Να υπολογίσετε το εμβαδό της καρδιάς, αν θεωρήσουμε ότι π = 22/7.

Μπορείς να βρεις την απάντηση χωρίς να δεις τη λύση;

Λύση

Έστω ότι το εσωτερικό τετράγωνο έχει πλευρά s. Κάθε ημικύκλιο έχει διάμετρο s, άρα ακτίνα r = s/2.

Το εξωτερικό τετράγωνο περιλαμβάνει:

• το τετράγωνο πλευράς s
• το πάνω ημικύκλιο (πρόσθετο ύψος s/2)
• το δεξί ημικύκλιο (πρόσθετο πλάτος s/2)

Άρα η πλευρά του εξωτερικού τετραγώνου είναι:

L = s + s/2 = 3s/2

Εμβαδό εξωτερικού τετραγώνου:

A_out = (3s/2)² = 9s²/4

Εμβαδό καρδιάς:

A_heart = s² + 2·(1/2)πr² = s² + π(s/2)² = (1 + π/4)s²

Δίνεται ότι το πορτοκαλί εμβαδό είναι:

91 = A_out − A_heart = (9/4 − 1 − π/4)s² = ((5 − π)/4)s²

Με π = 22/7:

91 = (13/28)s² ⟹ s² = 196

Τελικό εμβαδό καρδιάς:

A_heart = (1 + 22/28)·196 = 350

How Big Is the Heart? A Geometry Puzzle

The orange area is 91. The heart shape is made of a square and two semicircles. Find the area of the heart, assuming π = 22/7.

Can you solve it before revealing the solution?

Solution

Let the inner square have side s. Each semicircle has diameter s, so radius r = s/2.

The outer square contains the square plus the extra half-radius added by each semicircle, so its side length is:

L = s + s/2 = 3s/2

A_out = (3s/2)² = 9s²/4

The heart area equals:

A_heart = s² + 2·(1/2)πr² = s² + π(s/2)² = (1 + π/4)s²

Given the orange area:

91 = (9/4 − 1 − π/4)s² = ((5 − π)/4)s²

With π = 22/7:

91 = (13/28)s² ⟹ s² = 196

Heart area = 350