Sphere Die with Six Tangent Circular Faces: Find the Ratio of Face Area to Total Surface Area

Στερεομετρία – Σφαίρα και επιφάνειες

Ένα ασυνήθιστο ζάρι κατασκευάζεται ξεκινώντας από μια συμπαγή σφαίρα και κόβοντας έξι ίσα (συγκεκριμένα, congruent) σφαιρικά καπάκια, έτσι ώστε κάθε προκύπτουσα κυκλική έδρα να είναι εφαπτόμενη προς τις τέσσερις γειτονικές έδρες. Το σχήμα δίνει μια ένδειξη του σχήματος του ζαριού, σχεδιασμένο με διαφανείς έδρες.

Να βρεθεί ο λόγος:

\[ \frac{\text{(εμβαδόν των 6 εδρών)}}{\text{(συνολικό εμβαδόν επιφάνειας του ζαριού)}}. \]

Stereometry – Sphere and surface areas

An unusual gaming die is made by starting with a solid sphere and cutting off six congruent caps, such that each resulting circular face is tangent to the four adjacent faces. The figure gives an indication of the shape of the die, drawn with transparent faces.

What is the ratio

\[ \frac{\text{area of the 6 faces}}{\text{total surface area of the die}}\,? \]