Οποιοσδήποτε Αριθμός με Μόνο Τρία 2: Ένα Κλασικό Μαθηματικό Τέχνασμα

Μπορείς να γράψεις οποιονδήποτε θετικό ακέραιο χρησιμοποιώντας μόνο τρία 2, λογαρίθμους και μια αλυσίδα από εμφωλευμένες τετραγωνικές ρίζες;

Αυτό το παλιό αλλά εντυπωσιακό μαθηματικό τέχνασμα εμφανίζεται σε κλασική βιβλιογραφία με τίτλο Any Number via Three Twos.

Η βασική ιδέα

Ξεκινάμε κατασκευάζοντας έναν αριθμό που αλλάζει πολύ γρήγορα, χρησιμοποιώντας έναν «πύργο» από εμφωλευμένες τετραγωνικές ρίζες του 2:

\(\sqrt{\,\sqrt{\,\sqrt{\cdots\sqrt{2}\,}\,}\,}\)

Στη συνέχεια εφαρμόζουμε δύο φορές λογάριθμο με βάση το 2. Οι λογάριθμοι «μετρούν» ουσιαστικά πόσες ρίζες έχουν χρησιμοποιηθεί.

Παράδειγμα: ο αριθμός 3

Για τον αριθμό 3 δίνεται η σχέση:

\(3 = -\log_2\big(\log_2(\sqrt{\sqrt{2}})\big)\)

Οι εμφωλευμένες ρίζες δημιουργούν κλασματικούς εκθέτες του 2, ενώ οι διαδοχικοί λογάριθμοι μετατρέπουν αυτή την πληροφορία σε ακέραιο.

Ο γενικός κανόνας

Για να παραστήσεις έναν αριθμό N, χρησιμοποιείς το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας N φορές.

Με άλλα λόγια, ο αριθμός των ριζών κωδικοποιεί τον αριθμό, και οι λογάριθμοι τον «αποκωδικοποιούν».

Γιατί έχει ενδιαφέρον;

Το παράδειγμα αυτό δείχνει πόσο απρόσμενα ευέλικτα είναι τα μαθηματικά. Με ελάχιστα σύμβολα, μπορούμε να κατασκευάσουμε οποιονδήποτε ακέραιο, απλώς παίζοντας με δομές και πράξεις.

Πηγή

Το τέχνασμα προέρχεται από παλαιότερη μαθηματική βιβλιογραφία με τίτλο “Any Number via Three Twos” (σελίδα 227).

---

EisatoponAI — Your Daily Experience of Math Adventures