🏁 2026 MATH MARATHON FINALE
Inequalities Masterclass
Part 4: Τρίγωνα & Chebyshev - Οι Γεωμετρικές Ανισότητες
🔗 Σύνδεση με Προηγούμενα Parts:
Μέχρι στιγμής είδαμε αλγεβρικές τεχνικές (Τετράγωνα, Βασίλισσα, AM-GM, Cauchy-Schwarz). Τώρα μπαίνουμε στον κόσμο των γεωμετρικών ανισοτήτων - όπου η άλγεβρα συναντά τη γεωμετρία!
Μέχρι στιγμής είδαμε αλγεβρικές τεχνικές (Τετράγωνα, Βασίλισσα, AM-GM, Cauchy-Schwarz). Τώρα μπαίνουμε στον κόσμο των γεωμετρικών ανισοτήτων - όπου η άλγεβρα συναντά τη γεωμετρία!
🤔 Ερώτηση Προβληματισμού:
Γιατί οι ανισότητες σε τρίγωνα είναι τόσο ειδικές; Τι κάνει το τρίγωνο διαφορετικό από οποιαδήποτε τριάδα αριθμών;
Γιατί οι ανισότητες σε τρίγωνα είναι τόσο ειδικές; Τι κάνει το τρίγωνο διαφορετικό από οποιαδήποτε τριάδα αριθμών;
🔺 Μέρος Α: Η Μαγεία της Αντικατάστασης Ravi
📐 Θεμελιώδες Θεώρημα: Αντικατάσταση Ravi
Για κάθε τρίγωνο με πλευρές \(a, b, c\), ορίζουμε:
Επειδή \(x, y, z > 0\) (τριγωνική ανισότητα!), μετατρέπουμε το πρόβλημα σε ανισότητα με θετικούς αριθμούς χωρίς περιορισμούς!
Για κάθε τρίγωνο με πλευρές \(a, b, c\), ορίζουμε:
\[ x = \frac{b+c-a}{2}, \quad y = \frac{c+a-b}{2}, \quad z = \frac{a+b-c}{2} \]
Τότε:
\[ a = y+z, \quad b = z+x, \quad c = x+y \]
🎯 Γιατί είναι σημαντικό;Επειδή \(x, y, z > 0\) (τριγωνική ανισότητα!), μετατρέπουμε το πρόβλημα σε ανισότητα με θετικούς αριθμούς χωρίς περιορισμούς!
💡 Πότε χρησιμοποιούμε τη Ravi;
✅ Όταν η ανισότητα περιέχει εκφράσεις της μορφής \(a+b-c\), \(b+c-a\), \(c+a-b\)
✅ Όταν εμφανίζονται ημιπερίμετροι: \(s = \frac{a+b+c}{2}\)
✅ Σε ανισότητες με το εμβαδόν (μέσω του τύπου του Ήρωνα)
✅ Όταν η τριγωνική ανισότητα δυσκολεύει τη λύση
🔑 Βασικές Ταυτότητες:
• \(a+b+c = 2(x+y+z)\)
• \(s = x+y+z\) (ημιπερίμετρος)
• Εμβαδόν: \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(x+y+z) \cdot x \cdot y \cdot z}\)
• \(a+b-c = 2z\), \(b+c-a = 2x\), \(c+a-b = 2y\)
✅ Όταν η ανισότητα περιέχει εκφράσεις της μορφής \(a+b-c\), \(b+c-a\), \(c+a-b\)
✅ Όταν εμφανίζονται ημιπερίμετροι: \(s = \frac{a+b+c}{2}\)
✅ Σε ανισότητες με το εμβαδόν (μέσω του τύπου του Ήρωνα)
✅ Όταν η τριγωνική ανισότητα δυσκολεύει τη λύση
🔑 Βασικές Ταυτότητες:
• \(a+b+c = 2(x+y+z)\)
• \(s = x+y+z\) (ημιπερίμετρος)
• Εμβαδόν: \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(x+y+z) \cdot x \cdot y \cdot z}\)
• \(a+b-c = 2z\), \(b+c-a = 2x\), \(c+a-b = 2y\)
📚 Παραδείγματα με Ravi - Από Βασικά σε IMO Level
🔹 Παράδειγμα 1: Η Βασική Εφαρμογή
Πρόβλημα: Για κάθε τρίγωνο με πλευρές \(a, b, c\), δείξτε ότι:
\[ abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \]
Λύση:
Βήμα 1: Εφαρμόζουμε Ravi substitution:
• Αριστερά: \(abc = (y+z)(z+x)(x+y)\)
• Δεξιά: \((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = 2z \cdot 2x \cdot 2y = 8xyz\)
• Αριστερά: \(abc = (y+z)(z+x)(x+y)\)
• Δεξιά: \((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = 2z \cdot 2x \cdot 2y = 8xyz\)
Βήμα 2: Πρέπει να δείξουμε:
\[ (y+z)(z+x)(x+y) \geq 8xyz \]
\[ (y+z)(z+x)(x+y) \geq 8xyz \]
Βήμα 3: Από AM-GM σε κάθε παρένθεση:
• \(y+z \geq 2\sqrt{yz}\)
• \(z+x \geq 2\sqrt{zx}\)
• \(x+y \geq 2\sqrt{xy}\)
• \(y+z \geq 2\sqrt{yz}\)
• \(z+x \geq 2\sqrt{zx}\)
• \(x+y \geq 2\sqrt{xy}\)
Βήμα 4: Πολλαπλασιάζοντας:
\[ (y+z)(z+x)(x+y) \geq 2\sqrt{yz} \cdot 2\sqrt{zx} \cdot 2\sqrt{xy} = 8\sqrt{x^2y^2z^2} = 8xyz \quad \checkmark \]
Ισότητα: Όταν \(x=y=z\), δηλαδή \(a=b=c\) (ισόπλευρο τρίγωνο).\[ (y+z)(z+x)(x+y) \geq 2\sqrt{yz} \cdot 2\sqrt{zx} \cdot 2\sqrt{xy} = 8\sqrt{x^2y^2z^2} = 8xyz \quad \checkmark \]
✨ Παρατήρηση: Χωρίς τη Ravi, θα έπρεπε να ελέγξουμε την τριγωνική ανισότητα σε κάθε βήμα. Με τη Ravi, δουλεύουμε απλά με θετικούς αριθμούς!
🔹 Παράδειγμα 2: Ανισότητα με Ημιπερίμετρο
Πρόβλημα: Αν \(s\) είναι η ημιπερίμετρος τριγώνου με πλευρές \(a, b, c\), δείξτε:
\[ s^2 \geq (s-a)(s-b) + (s-b)(s-c) + (s-c)(s-a) \]
Λύση:
Βήμα 1: Με Ravi: \(s = x+y+z\), \(s-a = x\), \(s-b = y\), \(s-c = z\)
Βήμα 2: Η ανισότητα γίνεται:
\[ (x+y+z)^2 \geq xy + yz + zx \]
\[ (x+y+z)^2 \geq xy + yz + zx \]
Βήμα 3: Ανοίγουμε την αριστερή πλευρά:
\[ x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx) \geq xy+yz+zx \]
\[ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 + xy+yz+zx \geq 0 \]
\[ x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx) \geq xy+yz+zx \]
\[ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 + xy+yz+zx \geq 0 \]
Βήμα 4: Αυτό ισχύει πάντα (αφού όλοι οι όροι είναι θετικοί)! Ή από τη "Βασίλισσα":
\[ x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx \quad \checkmark \]
\[ x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx \quad \checkmark \]
🎯 Τεχνική: Συνδυασμός Ravi + Βασίλισσα = Killer Combo!
🔹 Παράδειγμα 3: IMO-Style με Εμβαδόν
Πρόβλημα (IMO Shortlist): Για κάθε τρίγωνο με πλευρές \(a,b,c\) και εμβαδόν \(K\), δείξτε:
\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3} K \]
Λύση:
Βήμα 1: Με Ravi:
• \(a^2+b^2+c^2 = (y+z)^2 + (z+x)^2 + (x+y)^2\)
• \(K = \sqrt{xyz(x+y+z)}\)
• \(a^2+b^2+c^2 = (y+z)^2 + (z+x)^2 + (x+y)^2\)
• \(K = \sqrt{xyz(x+y+z)}\)
Βήμα 2: Ανοίγουμε:
\[ a^2+b^2+c^2 = 2(x^2+y^2+z^2) + 2(xy+yz+zx) \]
\[ a^2+b^2+c^2 = 2(x^2+y^2+z^2) + 2(xy+yz+zx) \]
Βήμα 3: Από τη Βασίλισσα: \(x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx\)
Άρα: \(a^2+b^2+c^2 \geq 3(xy+yz+zx)\)
Άρα: \(a^2+b^2+c^2 \geq 3(xy+yz+zx)\)
Βήμα 4: Από AM-GM:
\[ xy+yz+zx \geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2} \]
\[ xy+yz+zx \geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2} \]
Βήμα 5: Επίσης, \(x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}\)
Συνδυάζοντας και χρησιμοποιώντας \(K^2 = xyz(x+y+z)\)...
[Η πλήρης απόδειξη απαιτεί επιπλέον λεπτές χειραγωγήσεις - αυτό είναι IMO level!]
Συνδυάζοντας και χρησιμοποιώντας \(K^2 = xyz(x+y+z)\)...
[Η πλήρης απόδειξη απαιτεί επιπλέον λεπτές χειραγωγήσεις - αυτό είναι IMO level!]
💪 Pro Level: Αυτό είναι η περίφημη ανισότητα Weitzenböck! Η ισότητα ισχύει για ισόπλευρο τρίγωνο.
📊 Μέρος Β: Ανισότητα Chebyshev - Η Δύναμη της Διάταξης
🎯 Θεώρημα Chebyshev (Πλήρης Μορφή)
Έστω \(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n\) και \(b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n\) δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών.
Α) Παρομοίως διατεταγμένες (Chebyshev's Sum Inequality):
Αν \(b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n\) (αντίθετη σειρά), τότε:
Έστω \(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n\) και \(b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n\) δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών.
Α) Παρομοίως διατεταγμένες (Chebyshev's Sum Inequality):
\[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \geq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i\right) \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} b_i\right) \]
Ή ισοδύναμα:
\[ n\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \geq \left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right) \left(\sum_{i=1}^{n} b_i\right) \]
Β) Αντίθετα διατεταγμένες:Αν \(b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n\) (αντίθετη σειρά), τότε:
\[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \leq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i\right) \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} b_i\right) \]
🧠 Διαισθητική Εξήγηση:
Φανταστείτε ότι έχετε 3 εργάτες με ωριαίο μισθό (3€, 5€, 8€) και πρέπει να τους βάλετε να δουλέψουν (2h, 4h, 6h).
Σενάριο 1 (Παρόμοια διάταξη):
Χαμηλότερος μισθός (3€) → Λίγες ώρες (2h) = 6€
Μεσαίος μισθός (5€) → Μέτριες ώρες (4h) = 20€
Υψηλότερος μισθός (8€) → Πολλές ώρες (6h) = 48€
Σύνολο: 74€
Σενάριο 2 (Αντίθετη διάταξη):
Χαμηλότερος μισθός (3€) → Πολλές ώρες (6h) = 18€
Μεσαίος μισθός (5€) → Μέτριες ώρες (4h) = 20€
Υψηλότερος μισθός (8€) → Λίγες ώρες (2h) = 16€
Σύνολο: 54€
Σενάριο 3 (Τυχαία ανάθεση):
Μέσος όρος: \(\frac{3+5+8}{3} \times \frac{2+4+6}{3} = \frac{16}{3} \times 4 = 64€\)
Παρατηρήστε: \(54 \leq 64 \leq 74\) - Ακριβώς αυτό λέει η Chebyshev! 📈
Φανταστείτε ότι έχετε 3 εργάτες με ωριαίο μισθό (3€, 5€, 8€) και πρέπει να τους βάλετε να δουλέψουν (2h, 4h, 6h).
Σενάριο 1 (Παρόμοια διάταξη):
Χαμηλότερος μισθός (3€) → Λίγες ώρες (2h) = 6€
Μεσαίος μισθός (5€) → Μέτριες ώρες (4h) = 20€
Υψηλότερος μισθός (8€) → Πολλές ώρες (6h) = 48€
Σύνολο: 74€
Σενάριο 2 (Αντίθετη διάταξη):
Χαμηλότερος μισθός (3€) → Πολλές ώρες (6h) = 18€
Μεσαίος μισθός (5€) → Μέτριες ώρες (4h) = 20€
Υψηλότερος μισθός (8€) → Λίγες ώρες (2h) = 16€
Σύνολο: 54€
Σενάριο 3 (Τυχαία ανάθεση):
Μέσος όρος: \(\frac{3+5+8}{3} \times \frac{2+4+6}{3} = \frac{16}{3} \times 4 = 64€\)
Παρατηρήστε: \(54 \leq 64 \leq 74\) - Ακριβώς αυτό λέει η Chebyshev! 📈
⚠️ Συχνό Λάθος:
Η Chebyshev ΔΕΝ λέει ότι:
Λέει ότι:
Ή ισοδύναμα:
Η Chebyshev ΔΕΝ λέει ότι:
\(\sum a_i b_i \geq \sum a_i \times \sum b_i\) ✗
Λέει ότι:
\(n \sum a_i b_i \geq (\sum a_i)(\sum b_i)\) ✓
Ή ισοδύναμα:
\(\text{(Μέσος των γινομένων)} \geq \text{(Γινόμενο των μέσων)}\) ✓
📚 Εφαρμογές Chebyshev
🔹 Παράδειγμα 1: Βασική Εφαρμογή
Πρόβλημα: Για θετικούς \(a, b, c\) με \(a \geq b \geq c\), δείξτε:
\[ a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2b + b^2c + c^2a \]
Λύση:
Βήμα 1: Γράφουμε:
Αριστερά: \(a \cdot a^2 + b \cdot b^2 + c \cdot c^2\)
Δεξιά: \(a \cdot ab + b \cdot bc + c \cdot ca\)
Αριστερά: \(a \cdot a^2 + b \cdot b^2 + c \cdot c^2\)
Δεξιά: \(a \cdot ab + b \cdot bc + c \cdot ca\)
Βήμα 2: Έχουμε δύο ακολουθίες:
• \(a \geq b \geq c\) (παρόμοια διάταξη)
• \(a^2 \geq b^2 \geq c^2\) (παρόμοια διάταξη)
• \(a \geq b \geq c\) (παρόμοια διάταξη)
• \(a^2 \geq b^2 \geq c^2\) (παρόμοια διάταξη)
Βήμα 3: Από Chebyshev:
\[ 3(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \]
\[ 3(a^3+b^3+c^3) \geq (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \]
Βήμα 4: Επίσης, \(ab \leq b^2\), \(bc \leq c^2\), \(ca \leq a^2\) (με διάταξη)
Ή πιο απλά: Θεωρούμε \((a,b,c)\) και \((a^2, b^2, c^2)\) παρόμοια διατεταγμένες:
\[ a \cdot a^2 + b \cdot b^2 + c \cdot c^2 \geq a \cdot ab + b \cdot bc + c \cdot ca \quad \checkmark \]
Ή πιο απλά: Θεωρούμε \((a,b,c)\) και \((a^2, b^2, c^2)\) παρόμοια διατεταγμένες:
\[ a \cdot a^2 + b \cdot b^2 + c \cdot c^2 \geq a \cdot ab + b \cdot bc + c \cdot ca \quad \checkmark \]
💡 Κλειδί: Αναγνωρίζουμε την παρόμοια διάταξη και εφαρμόζουμε Chebyshev απευθείας!
🔹 Παράδειγμα 2: Combo με AM-GM
Πρόβλημα: Για θετικούς \(x, y, z\), δείξτε:
\[ \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{z} + \frac{z^2}{x} \geq x + y + z \]
Λύση (Μέθοδος 1 - Chebyshev):
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω \(x \geq y \geq z\).
Τότε \(\frac{1}{y} \leq \frac{1}{z} \leq \frac{1}{x}\) (αντίθετη διάταξη)
Όμως \(x^2 \geq y^2 \geq z^2\), οπότε οι ακολουθίες \((x^2, y^2, z^2)\) και \((\frac{1}{y}, \frac{1}{z}, \frac{1}{x})\) δεν είναι ούτε παρόμοια ούτε αντίθετα διατεταγμένες...
[Η Chebyshev δεν εφαρμόζεται άμεσα εδώ!]
Λύση (Μέθοδος 2 - AM-GM σε κάθε κλάσμα):Τότε \(\frac{1}{y} \leq \frac{1}{z} \leq \frac{1}{x}\) (αντίθετη διάταξη)
Όμως \(x^2 \geq y^2 \geq z^2\), οπότε οι ακολουθίες \((x^2, y^2, z^2)\) και \((\frac{1}{y}, \frac{1}{z}, \frac{1}{x})\) δεν είναι ούτε παρόμοια ούτε αντίθετα διατεταγμένες...
[Η Chebyshev δεν εφαρμόζεται άμεσα εδώ!]
Από AM-GM:
\[ \frac{x^2}{y} + y \geq 2x, \quad \frac{y^2}{z} + z \geq 2y, \quad \frac{z^2}{x} + x \geq 2z \]
Προσθέτοντας:
\[ \left(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{z} + \frac{z^2}{x}\right) + (x+y+z) \geq 2(x+y+z) \]
\[ \Rightarrow \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{z} + \frac{z^2}{x} \geq x+y+z \quad \checkmark \]
\[ \frac{x^2}{y} + y \geq 2x, \quad \frac{y^2}{z} + z \geq 2y, \quad \frac{z^2}{x} + x \geq 2z \]
Προσθέτοντας:
\[ \left(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{z} + \frac{z^2}{x}\right) + (x+y+z) \geq 2(x+y+z) \]
\[ \Rightarrow \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{z} + \frac{z^2}{x} \geq x+y+z \quad \checkmark \]
🎓 Μάθημα: Δεν είναι όλα τα προβλήματα Chebyshev! Μερικές φορές το AM-GM είναι πιο φυσικό.
🔹 Παράδειγμα 3: Ravi + Chebyshev = Power Combo!
Πρόβλημα: Για κάθε τρίγωνο ABC με πλευρές \(a \geq b \geq c\), δείξτε:
\[ a(b+c-a) + b(c+a-b) + c(a+b-c) \leq 3bc \]
Λύση:
Βήμα 1: Με Ravi: \(a=y+z\), \(b=z+x\), \(c=x+y\)
Και: \(b+c-a=2x\), \(c+a-b=2y\), \(a+b-c=2z\)
Και: \(b+c-a=2x\), \(c+a-b=2y\), \(a+b-c=2z\)
Βήμα 2: Αριστερά:
\[ (y+z) \cdot 2x + (z+x) \cdot 2y + (x+y) \cdot 2z \]
\[ = 2(xy + xz + yz + zx + xy + yz) = 4(xy+yz+zx) \]
\[ (y+z) \cdot 2x + (z+x) \cdot 2y + (x+y) \cdot 2z \]
\[ = 2(xy + xz + yz + zx + xy + yz) = 4(xy+yz+zx) \]
Βήμα 3: Δεξιά:
\[ 3bc = 3(z+x)(x+y) = 3(zx + zy + x^2 + xy) \]
\[ 3bc = 3(z+x)(x+y) = 3(zx + zy + x^2 + xy) \]
Βήμα 4: Πρέπει να δείξουμε:
\[ 4(xy+yz+zx) \leq 3(x^2 + xy + xz + yz) \]
Αυτό γίνεται με σύγκριση συντελεστών και τη βοήθεια της διάταξης \(a \geq b \geq c\)...
[Πλήρης απόδειξη απαιτεί προσεκτική ανάλυση περιπτώσεων]
\[ 4(xy+yz+zx) \leq 3(x^2 + xy + xz + yz) \]
Αυτό γίνεται με σύγκριση συντελεστών και τη βοήθεια της διάταξης \(a \geq b \geq c\)...
[Πλήρης απόδειξη απαιτεί προσεκτική ανάλυση περιπτώσεων]
🚀 Advanced: Αυτό δείχνει πώς η Ravi μετατρέπει γεωμετρικά προβλήματα σε αλγεβρικά!
🎯 Bonus: Κλασικές Ανισότητες Τριγώνων
📌 Θεμελιώδεις Ανισότητες που Πρέπει να Γνωρίζετε:
1. Τριγωνική Ανισότητα:
\[ a + b > c, \quad b + c > a, \quad c + a > b \]
2. Ανισότητα Περιμέτρου-Εμβαδού:
Για περίμετρο \(P = a+b+c\) και εμβαδόν \(K\):
\[ P^2 \geq 12\sqrt{3} K \]
με ισότητα για ισόπλευρο τρίγωνο.
3. Ανισότητα Weitzenböck:
\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3} K \]
4. Ανισότητα Ακτίνων:
Για εγγεγραμμένη ακτίνα \(r\) και περιγεγραμμένη \(R\):
\[ R \geq 2r \]
με ισότητα για ισόπλευρο.
5. Erdős-Mordell:
Αν \(P\) εσωτερικό σημείο τριγώνου ABC και \(d_A, d_B, d_C\) οι αποστάσεις από τις πλευρές:
\[ PA + PB + PC \geq 2(d_A + d_B + d_C) \]
1. Τριγωνική Ανισότητα:
\[ a + b > c, \quad b + c > a, \quad c + a > b \]
2. Ανισότητα Περιμέτρου-Εμβαδού:
Για περίμετρο \(P = a+b+c\) και εμβαδόν \(K\):
\[ P^2 \geq 12\sqrt{3} K \]
με ισότητα για ισόπλευρο τρίγωνο.
3. Ανισότητα Weitzenböck:
\[ a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3} K \]
4. Ανισότητα Ακτίνων:
Για εγγεγραμμένη ακτίνα \(r\) και περιγεγραμμένη \(R\):
\[ R \geq 2r \]
με ισότητα για ισόπλευρο.
5. Erdős-Mordell:
Αν \(P\) εσωτερικό σημείο τριγώνου ABC και \(d_A, d_B, d_C\) οι αποστάσεις από τις πλευρές:
\[ PA + PB + PC \geq 2(d_A + d_B + d_C) \]
🏆 GRAND FINALE CHALLENGE
🎯 ULTIMATE MARATHON CHALLENGE
Πρόβλημα (IMO 2001/2):
Έστω \(a, b, c\) θετικοί αριθμοί. Δείξτε ότι:
🔮 Το μυστικό: Αυτό το πρόβλημα συνδυάζει Ravi, τριγωνομετρία, και Cauchy-Schwarz με έναν εκπληκτικό τρόπο!
Πρόβλημα (IMO 2001/2):
Έστω \(a, b, c\) θετικοί αριθμοί. Δείξτε ότι:
\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1 \]
🎁 Hints σε 4 Επίπεδα:
🥉 Hint 1 (Beginner): Τι συμβαίνει όταν \(a=b=c\); Υπολογίστε την τιμή.
🥈 Hint 2 (Intermediate): Δοκιμάστε να θέσετε \(a=b=c=1\) και δείτε αν γίνεται ισότητα. Τι παρατηρείτε;
🥇 Hint 3 (Advanced): Σκεφτείτε το ως πρόβλημα τριγώνου. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε Ravi substitution;
💎 Hint 4 (Expert): Θεωρήστε τρίγωνο με πλευρές \(a, b, c\). Τι είναι το \(\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\) γεωμετρικά; (Σχετίζεται με γωνίες!)
🔮 Το μυστικό: Αυτό το πρόβλημα συνδυάζει Ravi, τριγωνομετρία, και Cauchy-Schwarz με έναν εκπληκτικό τρόπο!
📮 Στείλτε τις λύσεις σας στα σχόλια!
Πλήρης λύση θα αναρτηθεί σε 1 εβδομάδα!
🏅 Bonus: Ο πρώτος που θα στείλει ορθή και κομψή λύση θα αναφερθεί στο επόμενο Part!
Πλήρης λύση θα αναρτηθεί σε 1 εβδομάδα!
🏅 Bonus: Ο πρώτος που θα στείλει ορθή και κομψή λύση θα αναφερθεί στο επόμενο Part!
📚 Σύνοψη & Στρατηγική
🎓 Πότε Χρησιμοποιούμε Ποια Τεχνική;
💡 Pro Tip για Διαγωνισμούς:
1️⃣ Ελέγξτε αν \(a=b=c\) δίνει ισότητα (σχεδόν πάντα σημαίνει συμμετρία)
2️⃣ Αν βλέπετε τρίγωνο, σκεφτείτε Ravi
3️⃣ Αν υπάρχει διάταξη, σκεφτείτε Chebyshev
4️⃣ Αν κολλήσετε, δοκιμάστε AM-GM σε κάθε όρο ξεχωριστά
5️⃣ Συνδυάστε τεχνικές - μην φοβάστε!
| Τεχνική | Πότε να την Επιλέξετε |
|---|---|
| Ravi Substitution | Όταν βλέπετε \(a+b-c\), \(s-a\), ή τριγωνική ανισότητα |
| Chebyshev | Όταν υπάρχει διάταξη \(a \geq b \geq c\) και γινόμενα όρων |
| AM-GM | Για κλάσματα τύπου \(\frac{x^2}{y}\), ή αθροίσματα/γινόμενα |
| Βασίλισσα | Όταν έχετε \(a^2+b^2+c^2\) και \(ab+bc+ca\) |
| Combo! | Τα πιο δύσκολα προβλήματα χρειάζονται 2-3 τεχνικές! |
💡 Pro Tip για Διαγωνισμούς:
1️⃣ Ελέγξτε αν \(a=b=c\) δίνει ισότητα (σχεδόν πάντα σημαίνει συμμετρία)
2️⃣ Αν βλέπετε τρίγωνο, σκεφτείτε Ravi
3️⃣ Αν υπάρχει διάταξη, σκεφτείτε Chebyshev
4️⃣ Αν κολλήσετε, δοκιμάστε AM-GM σε κάθε όρο ξεχωριστά
5️⃣ Συνδυάστε τεχνικές - μην φοβάστε!
🎊 Συγχαρητήρια!
Ολοκληρώσατε το 2026 Math Marathon - Inequalities Masterclass!
Μέχρι τώρα κατακτήσατε:
✅ Part 1: Βασικές Ανισότητες & AM-GM
✅ Part 2: Η Βασίλισσα \(a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca\)
✅ Part 3: Cauchy-Schwarz
✅ Part 4: Ravi & Chebyshev
Ολοκληρώσατε το 2026 Math Marathon - Inequalities Masterclass!
Μέχρι τώρα κατακτήσατε:
✅ Part 1: Βασικές Ανισότητες & AM-GM
✅ Part 2: Η Βασίλισσα \(a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca\)
✅ Part 3: Cauchy-Schwarz
✅ Part 4: Ravi & Chebyshev
📅 Coming Next:
Part 5 - BONUS: 20 Olympiad Problems Solved! 🎯
(Με step-by-step λύσεις και video explanations)
Part 5 - BONUS: 20 Olympiad Problems Solved! 🎯
(Με step-by-step λύσεις και video explanations)
Μείνετε συντονισμένοι...
Ο μαραθώνιος συνεχίζεται! 🏃♂️
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου