2026 Math Marathon | Άλγεβρα Β' Λυκείου - Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις (II)

Άσκηση 8. 

α) Δίνεται η συνάρτηση \( f(x) = \frac{3}{\log x + 2} - \frac{5}{\log x - 2} \). Υπολογίστε το \( f\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right) \).

β) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \( f(x) = \frac{3}{\log x + 2} - \frac{5}{\log x - 2} \).

γ) Λύστε την εξίσωση: \( \frac{3}{\log x + 2} - \frac{5}{\log x - 2} = 4 \).

δ) Λύστε την ανισότητα: \( \frac{3}{\log x + 2} - \frac{5}{\log x - 2} > 4 \).

Άσκηση 9. 

α) Δίνεται η συνάρτηση \( f(x) = \log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) \). Υπολογίστε το \( f(5) \).

β) Λύστε την εξίσωση: \( \log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = 5 \).

γ) Λύστε την ανισότητα: \( \log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) < \log_{0,5} \frac{1}{x+3} \).

δ) Βρείτε όλες τις τιμές του \( b \), τέτοιες ώστε η εξίσωση \( \frac{\log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) - 5}{x + b} = 0 \) να έχει λύση.

Άσκηση 10. 

α) Δίνεται η συνάρτηση \( f(x) = 3 \cdot 5^x \). Υπολογίστε το \( f(\log_{\sqrt{5}} \sqrt{3}) \).

β) Λύστε την εξίσωση: \( 3 \cdot 5^x + 3 \cdot 5^{-x} = \frac{78}{5} \).

γ) Λύστε την ανισότητα: \( 3 \cdot 5^x + 3 \cdot 5^{-x} < \frac{78}{5} \).

δ) Αποδείξτε ότι \( 3 \cdot 5^x + 3 \cdot 5^{-x} \geq 6 \).

Άσκηση 11. 

α) Δίνεται η συνάρτηση \( f(x) = 3^{x+1} \). Υπολογίστε το \( f(\log_{\frac{1}{3}} 5) \).

β) Λύστε την εξίσωση: \( 3^{2x+1} - 2 \cdot 3^{x+1} = 9 \).

γ) Λύστε την ανισότητα: \( \log_2(3^{2x+1} - 2 \cdot 3^{x+1}) < 2 \log_2 3 \).

δ) Λύστε το σύστημα: \( \begin{cases} 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{y+1} = 9 \\ 3^x - 2^{y+1} = 3 \end{cases} \).