Bead on a Wire Under Gravity – A Subtle Classical Mechanics Problem

Χάντρα σε σύρμα υπό την επίδραση της βαρύτητας

Μια χάντρα, υπό την επίδραση της βαρύτητας, γλιστρά χωρίς τριβές πάνω σε ένα σύρμα, του οποίου το ύψος δίνεται από τη συνάρτηση V(x).

Να βρεθεί μια έκφραση για την οριζόντια επιτάχυνση της χάντρας. Η έκφραση μπορεί να εξαρτάται από οποιαδήποτε μεγέθη κριθούν απαραίτητα.

Θα διαπιστώσετε ότι το αποτέλεσμα δεν είναι το ίδιο με την επιτάχυνση ενός σωματιδίου που κινείται σε μία διάσταση στο δυναμικό mgV(x), όπου στην περίπτωση αυτή ισχύει \(\ddot{x} = -gV'(x)\).

Αν όμως πιάσετε το σύρμα, υπάρχει τρόπος να το κινήσετε έτσι ώστε η οριζόντια επιτάχυνση της χάντρας να είναι ίση με \(\ddot{x} = -gV'(x)\), δηλαδή με την επιτάχυνση που προκύπτει από το μονοδιάστατο δυναμικό mgV(x);

A Bead on a Wire Under the Influence of Gravity

A bead, under the influence of gravity, slides along a frictionless wire whose height is given by the function V(x).

Find an expression for the bead’s horizontal acceleration. It can depend on whatever quantities you need it to depend on.

You should find that the result is not the same as the \(\ddot{x}\) for a particle moving in one dimension in the potential mgV(x), in which case \(\ddot{x} = -gV'(x)\).

But if you grab hold of the wire, is there any way you can move it so that the bead’s \(\ddot{x}\) is equal to the \(\ddot{x} = -gV'(x)\) result due to the one-dimensional potential mgV(x)?