Ρυθμοί Μεταβολής και Κωνική Δεξαμενή Νερού – Πρόβλημα Διαφορικού Λογισμού

Κωνική δεξαμενή νερού με μεταβαλλόμενο ύψος και ρυθμό μεταβολής

Ρυθμοί Μεταβολής σε Κωνική Δεξαμενή Νερού

Το ύψος του νερού σε μια κωνική δεξαμενή αποθήκευσης, όπως φαίνεται στο σχήμα, μοντελοποιείται από μια παραγωγίσιμη συνάρτηση \( h(t) \), όπου το \( h(t) \) μετριέται σε μέτρα και ο χρόνος \( t \) σε ώρες.

Τη χρονική στιγμή \( t = 0 \), το ύψος του νερού στη δεξαμενή είναι \[ h(0) = 25 \text{ μέτρα}. \]

Ο ρυθμός μεταβολής του ύψους δίνεται από τη συνάρτηση \[ h'(t) = 2 - \frac{24e^{-0.025t}}{t+4} \quad \text{(μέτρα ανά ώρα)}, \quad 0 \le t \le 24. \]

(α)

Όταν το ύψος του νερού είναι \( h \) μέτρα, ο όγκος του νερού στη δεξαμενή δίνεται από τον τύπο \[ V = \frac{1}{3}\pi h^3. \] Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του νερού τη χρονική στιγμή \( t = 0 \). Να αναφερθούν οι μονάδες μέτρησης.

(β)

Να βρεθεί το ελάχιστο ύψος του νερού στη δεξαμενή στο χρονικό διάστημα \[ 0 \le t \le 24. \] Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(γ)

Η εφαπτομένη ευθεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \( h \) στο σημείο \( t = 16 \) χρησιμοποιείται για την προσέγγιση του ύψους του νερού. Χρησιμοποιώντας την προσέγγιση με εφαπτομένη, να βρεθεί ο χρόνος \( t \) κατά τον οποίο το ύψος του νερού επιστρέφει στα \( 25 \) μέτρα.

🧠