Ιστορία των Μαθηματικών: Η Εφεύρεση των Μιγαδικών Αριθμών

Κυβικές Εξισώσεις και η Γέννηση των Μιγαδικών Αριθμών

Στο Λύκειο μαθαίνουμε ότι μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες: πραγματικές (διακριτές ή διπλές) ή μιγαδικές. Εύκολα υποθέτει κανείς πως οι μιγαδικοί γεννήθηκαν για να «κλείσει» ωραία αυτή η θεωρία. Η ιστορική αλήθεια είναι πιο περίπλοκη: οι μιγαδικοί εμφανίστηκαν αναγκαστικά στην επίλυση των κυβικών εξισώσεων.

Από τον Cardano στον «υποβιβασμό» της κυβικής εξίσωσης

Στο Ars Magna (1545), ο Gerolamo Cardano συγκέντρωσε αποτελέσματα για τις κυβικές εξισώσεις, πολλά από τα οποία οφείλονταν σε del Ferro, Tartaglia και Ferrari. Το κρίσιμο βήμα είναι ότι κάθε γενική κυβική

$$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$$

με την αντικατάσταση \(x = y - \frac{a}{3}\) μετατρέπεται στην υποβιβασμένη μορφή:

$$y^3 + By + C = 0$$

Από εδώ και έπειτα μελετάμε την

$$x^3 + bx + c = 0$$

Η ιδέα τύπου «τετραγώνισης»: η προσέγγιση Ward

Όπως στην τετραγωνική γράφουμε \((x - p)^2 = q^2\) ώστε \(x = p \pm q\), ο Ward (2003) πρότεινε για την κυβική να επιδιώξουμε

$$(x - p)^3 = q^3 \quad \Rightarrow \quad x = p + \omega q$$

όπου \(\omega\) είναι κυβική ρίζα της μονάδας (1, \(\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\)). Αντικατάσταση και ομαδοποίηση δίνουν το σύστημα:

$$\begin{aligned} p^3 + q^3 &= -c\\ p^3 q^3 &= -\frac{b^3}{27} \end{aligned}$$

Άρα τα \(p^3\) και \(q^3\) είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας

$$y^2 + cy - \frac{b^3}{27} = 0$$

οπότε

$$\begin{aligned} p^3 &= \frac{1}{2}\left(-c + \sqrt{c^2 + \frac{4b^3}{27}}\right)\\ q^3 &= \frac{1}{2}\left(-c - \sqrt{c^2 + \frac{4b^3}{27}}\right) \end{aligned}$$

Και τελικά οι λύσεις γράφονται ως

$$x = \sqrt[3]{\frac{-c + \sqrt{c^2 + \frac{4b^3}{27}}}{2}} + \omega\,\sqrt[3]{\frac{-c - \sqrt{c^2 + \frac{4b^3}{27}}}{2}}$$

όπου \(\omega \in \left\{1,\, \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\right\}\)

Διακρίνουσα της υποβιβασμένης κυβικής

Ο ρόλος της διακρίνουσας στη δευτεροβάθμια παίζεται εδώ από το μέγεθος

$$\Delta = 27c^2 + 4b^3$$

• Αν \(\Delta > 0\), υπάρχει μία πραγματική ρίζα και δύο μιγαδικές συζυγείς.
• Αν \(\Delta < 0\), υπάρχουν τρεις πραγματικές διακεκριμένες ρίζες (η «αδιάσπαστη περίπτωση» – casus irreducibilis).

Το παράδοξο: Ακόμη και όταν οι τρεις ρίζες είναι πραγματικές, ο τύπος περνά από κύβους μιγαδικών ποσοτήτων – αυτό ακριβώς έδειξε ο Rafael Bombelli (1526–1572) θεμελιώνοντας άτυπα την άλγεβρα των μιγαδικών.

Παραδείγματα

(α) Μία πραγματική ρίζα

Έστω η εξίσωση \(x^3 - x + 1 = 0\). Εδώ έχουμε \(b = -1, c = 1\) και \(\Delta = 27 \cdot 1^2 + 4(-1)^3 = 23 > 0\). Άρα υπάρχει μία πραγματική ρίζα (\(\approx 0.675\)) και δύο μιγαδικές συζυγείς.

(β) Τρεις πραγματικές ρίζες

Η εξίσωση \(x^3 - x = 0\) δίνει \(b = -1, c = 0\) και \(\Delta = 4(-1)^3 = -4 < 0\). Οι ρίζες είναι \(x \in \{-1, 0, 1\}\), όλες πραγματικές.

Σημείωση: Αν η αρχική εξίσωση προήλθε από μετατόπιση (π.χ. αντικατάσταση \(x = y + k\)), τότε στις τελικές ρίζες προσθέτουμε πίσω την τιμή \(k\).

Από τον Bombelli στο de Moivre

Ο Bombelli έδειξε πώς να χειριστούμε εκφράσεις όπως \(\sqrt[3]{a + ib}\). Για παράδειγμα, \((2 + i)^3 = 2 + 11i\).

Γενικά, για κύβους μιγαδικών χρησιμοποιούμε την πολική μορφή και τον τύπο του de Moivre:

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^{1/3} = \cos\left(\frac{\theta}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{3}\right)$$

που συνδέει βαθιά την Άλγεβρα με την Τριγωνομετρία.

Συμπέρασμα

Η μελέτη των κυβικών εξισώσεων όχι μόνο έδωσε λύση σε ένα αρχαίο πρόβλημα, αλλά άνοιξε τον δρόμο για την ανάπτυξη των μιγαδικών αριθμών. Η ιστορική πορεία από τον Cardano και τον Bombelli μέχρι τον de Moivre δείχνει πώς τα μαθηματικά εξελίσσονται όταν τολμάμε να εργαστούμε με «παράξενες» ποσότητες που αρχικά φαίνονται αδύνατες.

Σήμερα, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι απαραίτητοι σε πολλούς κλάδους: από την κβαντική φυσική μέχρι τη θεωρία σημάτων και την ηλεκτρολογία. Όλα ξεκίνησαν από την ανάγκη να λύσουμε μια κυβική εξίσωση.