Σχέδιο Μαθήματος Νέας Εποχής: Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές παραστάσεις

🔤 Μεταβλητές & Αλγεβρικές Παραστάσεις

Β΄ Γυμνασίου | Κεφάλαιο 1.1 | Σχέδιο Μαθήματος Νέας Εποχής

Τι είναι αυτό:
Πλήρες σχέδιο μαθήματος, γραμμένο ως οδηγός καθηγητή για χρήση μέσα στην τάξη. Μπορεί να εκτυπωθεί και να χρησιμοποιηθεί αυτούσιο σε μάθημα 45 λεπτών.

ΜΈΡΟΣ Α΄ – ΟΔΗΓΌΣ ΚΑΘΗΓΗΤΉ

🎯

Τάξη: Β΄ Γυμνασίου

⏱️

Διάρκεια: 45 λεπτά

🛠️

Υλικά: Πίνακας, τετράδιο, κινητά, AI

Κεντρική Ιδέα

Η AI υπολογίζει για συγκεκριμένες τιμές. Ο μαθητής καταλαβαίνει τη γενική μορφή.

🔵 ΒΗΜΑ 1 – Η ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ (0–8΄)

Λες: «Σκεφτείτε έναν αριθμό. Οποιονδήποτε αριθμό. Προσθέστε του 5.»

Ρωτάς: «Τι βρήκατε;»

Οι απαντήσεις θα είναι διαφορετικές (8, 12, 20, 105...).

Λες: «Πώς μπορούμε να γράψουμε αυτό που κάνατε ΓΕΝΙΚΑ, για οποιονδήποτε αριθμό;»

📚 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

x + 5

Το x είναι μεταβλητή.
Μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή.

Αν x = 3 → x + 5 = 8
Αν x = 7 → x + 5 = 12
Αν x = 15 → x + 5 = 20

Η AI μπορεί να υπολογίσει για συγκεκριμένο x. Εμείς καταλαβαίνουμε τη γενική μορφή.

✅ ΒΗΜΑ 2 – ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ (8–18΄)

Λες: «Βγάλτε τα κινητά. Ρωτήστε την AI: Αν x = 4, πόσο είναι το 3x + 7;»

Η AI δίνει 19

Ρωτάς: «Πώς το βρήκε;»

Αντικατάσταση:

3x + 7, για x = 4
= 3 · 4 + 7
= 12 + 7
= 19 ✓

📚 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Μια αλγεβρική παράσταση περιέχει:
• Μεταβλητές (x, y, z...)
• Αριθμούς (σταθερές)
• Πράξεις (+, −, ×, ÷, δυνάμεις)

Παραδείγματα:
3x + 7
2x² − 5x + 1
x/2 + 3

Δοκιμή με πίνακα τιμών:

x	3x + 7
1	10
2	13
5	22

📐 ΒΗΜΑ 3 – ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ (18–28΄)

Νέα παράσταση:

x² + 2x − 3

Λες: «Ζητήστε από την AI να βρει την τιμή για x = 5»

Η AI δίνει 32

Έλεγχος βήμα-βήμα:

x² + 2x − 3, για x = 5
= 5² + 2 · 5 − 3
= 25 + 10 − 3
= 32 ✓

📚 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ

Η αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης
είναι το αποτέλεσμα που παίρνουμε όταν:

1. Αντικαθιστούμε τη μεταβλητή με έναν αριθμό
2. Εκτελούμε τις πράξεις

Άσκηση στον πίνακα:

Βρες την αριθμητική τιμή του 2x² − x + 4 για x = 3

Λύση:

2 · 3² − 3 + 4
= 2 · 9 − 3 + 4
= 18 − 3 + 4
= 19

🔄 ΒΗΜΑ 4 – ΟΜΟΙΟΙ ΟΡΟΙ (28–40΄)

Νέα παράσταση:

3x + 5x + 2

Λες: «Μπορούμε να την απλοποιήσουμε;»

Η AI λέει 8x + 2

Γιατί;

3x + 5x + 2
= (3 + 5)x + 2
= 8x + 2

📚 ΟΜΟΙΟΙ ΟΡΟΙ

Ομοίοι όροι είναι οι όροι που έχουν:
• Το ίδιο γράμμα (μεταβλητή)
• Τον ίδιο εκθέτη

Παραδείγματα:
3x και 5x → ΟΜΟΙΟΙ ✓
2x² και 7x² → ΟΜΟΙΟΙ ✓
3x και 5x² → ΟΧΙ ΟΜΟΙΟΙ ❌
4x και 7y → ΟΧΙ ΟΜΟΙΟΙ ❌

Αναγωγή ομοίων όρων:

Παραδείγματα:

7x − 2x = 5x
4x² + 3x² = 7x²
5x + 3 − 2x + 7 = 3x + 10

Επαλήθευση:

Έλεγχος ότι 3x + 5x + 2 και 8x + 2 δίνουν την ίδια τιμή για x = 2:

Αρχική: 3 · 2 + 5 · 2 + 2 = 6 + 10 + 2 = 18
Απλοποιημένη: 8 · 2 + 2 = 16 + 2 = 18 ✓

🎯 ΒΗΜΑ 5 – Η ΤΕΛΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ (40–45΄)

Η AI κάνει λάθος στην αναγωγή.

Ζητάς από την AI:

Απλοποίησε: 4x² + 3x − 2x² + 5x

Η AI λέει (λάθος):

2x² + 2x ❌

Σωστή ανάλυση:

Βήμα-βήμα:

4x² + 3x − 2x² + 5x
= (4x² − 2x²) + (3x + 5x)
= 2x² + 8x ✓

⚠️ ΤΟ ΛΑΘΟΣ ΤΗΣ AI:
Η AI πρόσθεσε λάθος: 3x + 5x = 2x (ΛΑΘΟΣ!)
Σωστό: 3x + 5x = 8x

Έλεγχος με αντικατάσταση (x = 1):

Απάντηση AI: 2 · 1² + 2 · 1 = 2 + 2 = 4 ❌

Σωστή: 2 · 1² + 8 · 1 = 2 + 8 = 10 ✓
Αρχική: 4 · 1² + 3 · 1 − 2 · 1² + 5 · 1 = 4 + 3 − 2 + 5 = 10 ✓

🎓 Κλείσιμο μαθήματος:
«Η AI υπολογίζει γρήγορα, αλλά εσείς ελέγχετε. Μάθατε να διακρίνετε ομοίους όρους, να τους προσθέτετε σωστά, και να επαληθεύετε το αποτέλεσμα. Αυτό σας κάνει αληθινούς αλγεβριστές.»

ΜΈΡΟΣ Β΄ – ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΤΗ

Όνομα:

Ημερομηνία:

✏️ Άσκηση 1: Αριθμητική Τιμή

Βρες την αριθμητική τιμή της παράστασης 2x + 5 για:

α) x = 3: 2 · 3 + 5 =

β) x = 10:

✏️ Άσκηση 2: Αριθμητική Τιμή με Δύναμη

Υπολόγισε την τιμή του x² − 3x + 4 για x = 4

Λύση βήμα-βήμα:

Αποτέλεσμα:

✏️ Άσκηση 3: Ομοίοι Όροι

Κύκλωσε τα ζευγάρια ομοίων όρων:

5x και 7x:

3x² και 3x:

2y² και 8y²:

✏️ Άσκηση 4: Αναγωγή Ομοίων

Απλοποίησε:

α) 7x + 3x =

β) 5x² − 2x² + 3x² =

γ) 4x + 7 − x + 3 =

✏️ Άσκηση 5: Έλεγχος AI

Η AI λέει ότι: 6x − 2x + 5 = 4x + 5

Είναι σωστό; Έλεγξε για x = 2:

Η AI είναι σωστή;

ΝΑΙ

ΟΧΙ

💭 Τελική Ερώτηση

Τι είναι μεταβλητή;

Πότε δύο όροι είναι ομοίοι;