Clear or Cloudy? Counting Weekly Weather Patterns

Καιρός με Δύο Καταστάσεις

Ας περιγράψουμε τον καιρό χρησιμοποιώντας μόνο ένα χαρακτηριστικό: νεφελώδης ή όχι νεφελώδης.

Οι ημέρες θα χαρακτηρίζονται είτε ως καθαρές είτε ως νεφελώδεις. Πιστεύετε ότι μπορούν να υπάρξουν πολλές εβδομάδες με διαφορετικές εναλλαγές καιρού υπό αυτή τη συνθήκη;

Φαινομενικά, θα έλεγε κανείς ότι όχι. Μετά από έναν ή δύο μήνες, όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί καθαρών και νεφελωδών ημερών μέσα σε μία εβδομάδα θα έχουν εξαντληθεί και κάποιος από τους προηγούμενους συνδυασμούς θα επαναληφθεί.

Ας υπολογίσουμε όμως ακριβώς πόσοι διαφορετικοί συνδυασμοί είναι δυνατοί. Το πρόβλημα αυτό οδηγεί απροσδόκητα στην πέμπτη μαθηματική πράξη.

Το ερώτημα είναι: με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να εναλλάσσονται καθαρές και νεφελώδεις ημέρες μέσα σε μία εβδομάδα;

Weather with Two States

Let us describe the weather using only one characteristic: cloudy or not cloudy.

Days will be described as either clear or overcast. Do you think there can be many weeks with different weather changes under this condition?

At first glance, it would seem not. After a month or two, all possible combinations of clear and overcast days within a week would be exhausted, and one of the earlier patterns would inevitably recur.

But let us calculate exactly how many distinct combinations are possible under these conditions. This problem unexpectedly leads to the fifth mathematical operation.

The question is: in how many different ways can clear and overcast days alternate within a single week?