Exponential Growth, Interest, Cooling, and the Most Important Number in Nature

The story of e: Το πιο “ήσυχο” νούμερο που κυβερνά τον κόσμο

Υπάρχουν αριθμοί που τους μαθαίνουμε στο σχολείο και… τους ξεχνάμε. Και υπάρχουν αριθμοί που δεν τους βλέπουμε, αλλά βρίσκονται παντού.

Ένας τέτοιος αριθμός είναι το e ≈ 2,718281828…. Είναι σαν ένας “αόρατος νόμος” που εμφανίζεται κάθε φορά που κάτι αλλάζει συνεχώς: το χρήμα, η θερμοκρασία, τα βακτήρια, η ραδιενέργεια, ακόμη και το σχήμα ενός σχοινιού.

Τι εννοούμε με “εκθετική αύξηση”;

Η εκθετική αύξηση είναι η κατάσταση όπου κάτι δεν αυξάνεται “σταθερά”, αλλά αυξάνεται ανάλογα με το πόσο ήδη υπάρχει.

Δηλαδή:
όσο μεγαλύτερο γίνεται, τόσο πιο γρήγορα συνεχίζει να μεγαλώνει.

Αυτό δεν είναι γραμμική αύξηση… είναι “χιονοστιβάδα”.

1) Πόσο γρήγορα μεγαλώνει το χρήμα στην τράπεζα;

Αν σου δίνει η τράπεζα τόκο, τότε το υπόλοιπό σου αυξάνεται με βάση αυτό που ήδη έχεις: τόκος πάνω στον τόκο (compound interest).

Εκεί εμφανίζεται φυσικά ο αριθμός e, γιατί η “ιδανική” συνεχής ανατοκισμένη αύξηση περιγράφεται από τη σχέση:

A(t) = A₀ · e^rt

Όσο πιο συχνά ανατοκίζεται το ποσό, τόσο περισσότερο πλησιάζει τη συμπεριφορά του e.

2) Πόσο γρήγορα κρυώνει ένα φλιτζάνι τσάι;

Το τσάι δεν χάνει π.χ. 1°C ανά λεπτό. Χάνει θερμότητα πιο γρήγορα στην αρχή και πιο αργά μετά.

Η ψύξη ακολουθεί περίπου εκθετική μείωση:

T(t) = T_{περιβάλλοντος} + (T₀ - T_{περιβάλλοντος})e^-kt

Άρα: ο αριθμός e δεν σημαίνει “αύξηση” μόνο. Σημαίνει και εκθετική μείωση.

3) Ράδιο και χρόνος: γιατί η ραδιενέργεια “σβήνει” εκθετικά;

Στη ραδιενεργή διάσπαση, δεν υπάρχει “πρόγραμμα”. Ένας πυρήνας μπορεί να διασπαστεί τώρα ή μετά από χίλια χρόνια.

Όμως όταν έχουμε τεράστιους αριθμούς πυρήνων, η συνολική συμπεριφορά γίνεται κανονική και υπακούει σε εκθετική μείωση:

N(t) = N₀ e^-λt

4) Και η απλώστρα; Τι σχέση έχει το e με ένα σχοινί;

Αυτό είναι το πιο ωραίο σημείο: Αν κρεμάσεις ένα σχοινί από δύο άκρα, δεν κάνει “παραβολή” όπως νομίζουν πολλοί.

Κάνει κατενάριο (catenary), και η εξίσωση του σχήματος περιέχει τον αριθμό e.

y = a cosh(x/a)

Κι επειδή το cosh γράφεται με εκθετικές συναρτήσεις:

cosh(x) = (e^x + e^-x)/2

Η μεγάλη ιδέα

Ο αριθμός e εμφανίζεται κάθε φορά που:

• η αλλαγή εξαρτάται από το “πόσο υπάρχει ήδη”
• η διαδικασία συμβαίνει συνεχώς στον χρόνο
• το σύστημα είναι “φυσικό” και δεν έχει τεχνητά βήματα

Γι’ αυτό λέμε ότι το e είναι ένας αριθμός που δεν “κατασκευάστηκε”. Αναδύθηκε μέσα από την πραγματικότητα.

Πηγή: Το άρθρο βασίστηκε στο βίντεο: The story of e.

The Story of e: the quiet number that rules the world

There are numbers we learn at school and quickly forget. And there are numbers we don’t notice—yet they are everywhere.

One of them is e ≈ 2.718281828…. It is the hidden law behind anything that changes continuously: money, temperature, bacteria, radioactivity, and even the shape of a hanging rope.

What do we mean by “exponential growth”?

Exponential growth is when something grows not by a fixed amount, but in proportion to how much already exists.

It’s not linear growth—it’s a snowball effect.

1) How fast does money grow in a bank?

With compound interest, your balance grows based on what you already have: interest on interest. This naturally leads to the constant e.

A(t) = A₀ · e^rt

2) How fast does a cup of tea cool?

Tea doesn’t cool by losing 1°C per minute. It cools fast at first and slower later. That is exponential decay:

T(t) = T_env + (T₀ - T_env)e^-kt

3) How fast does radium decay?

Radioactive decay is random for each nucleus. But for huge populations, the total behavior becomes predictable:

N(t) = N₀ e^-λt

4) What is the shape of a washing line?

A hanging rope does not form a parabola. It forms a catenary, described by:

y = a cosh(x/a)

And since:

cosh(x) = (e^x + e^-x)/2

the number e appears once again.

The big idea

The constant e appears whenever:

• the rate of change depends on the current amount
• the process happens continuously in time
• nature operates without artificial steps

That’s why e feels like a number discovered inside the universe— not invented by humans.

Source: Based on the video: The story of e.