f'(x) γνησίως αύξουσα και μια σύνθετη σχέση που "βγάζει" το f(x)=x²

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με την $f'$ γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει:

$f\left(\frac{f'(x)}{2}\right) = f'\left(\frac{f(x)}{2}\right) = x^2$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$.

Να δείξετε ότι:

$f(x) = x^2, \,\, x \in \mathbb{R}$.

Tου Νίκου Ζανταρίδη