How a Computer Destroyed Euler's 200-Year-Old Math Theory

Η εικασία του Euler και η ευθραυστότητα της μαθηματικής αλήθειας

Τα μαθηματικά συχνά μοιάζουν αιώνια. Όταν κάτι αποδειχθεί, παραμένει αληθινό για πάντα. Όμως η πορεία προς την απόδειξη δεν είναι πάντα ευθύγραμμη. Μπορεί να είναι μακρά, παραπλανητική και, κάποιες φορές, ταπεινωτική.

Λίγες ιστορίες αποτυπώνουν αυτή την ένταση καλύτερα από την άνοδο και την πτώση της εικασίας του Euler για τα αθροίσματα δυνάμεων.

Μια ιδέα από έναν γίγαντα

Στα μέσα του 18ου αιώνα, ο Leonard Euler, ένας από τους πιο παραγωγικούς και επιδραστικούς μαθηματικούς όλων των εποχών, παρατήρησε ένα μοτίβο που φαινόταν φυσικό.

Γνώριζε ότι για εκθέτη 2 ισχύει:

a² + b² = c²

και ότι για εκθέτη 3 δεν υπάρχουν μη τετριμμένες λύσεις με δύο όρους στο άθροισμα. Αυτό τον οδήγησε σε μια γενίκευση.

Η εικασία

Ο Euler υπέθεσε ότι για κάθε ακέραιο εκθέτη n > 2, η εξίσωση

aⁿ + bⁿ + cⁿ + … = zⁿ

δεν έχει λύσεις με λιγότερους από n όρους στο αριστερό μέλος.

Για παράδειγμα, ένα άθροισμα τεσσάρων τετάρτων δυνάμεων δεν θα μπορούσε ποτέ να ισούται με μία τέταρτη δύναμη.

Δύο αιώνες σιωπηλής αποδοχής

Η εικασία δεν αποδείχθηκε ποτέ. Ούτε όμως και διαψεύστηκε.

Για σχεδόν διακόσια χρόνια, κανένα αντίπαλο παράδειγμα δεν είχε βρεθεί. Η πρόταση έμοιαζε αληθινή, όχι επειδή είχε αποδειχθεί, αλλά επειδή άντεχε στον χρόνο.

Η ρωγμή

Το 1966, η κατάσταση άλλαξε. Με τη βοήθεια υπολογιστών, ο μαθηματικός Lander μαζί με τους Parkin και Selfridge βρήκαν ένα αντίπαλο παράδειγμα για την περίπτωση n = 5:

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵

Η εικασία κατέρρευσε. Όχι θεαματικά, αλλά αθόρυβα.

Τι μας διδάσκει αυτή η ιστορία

Η εικασία του Euler δεν ήταν «λάθος». Ήταν λογική, κομψή και βαθιά. Απλώς δεν ήταν αληθινή.

Η ιστορία αυτή υπενθυμίζει ότι στα μαθηματικά η αλήθεια δεν καθορίζεται από την αυθεντία, ούτε από τον χρόνο, αλλά μόνο από την απόδειξη.

Και ότι ακόμη και οι πιο ισχυρές πεποιθήσεις μπορούν να καταρρεύσουν από μία και μόνο εξίσωση.

Euler’s Conjecture and the Fragility of Mathematical Truth

Mathematics often feels eternal. Once something is proven, it remains true forever. Yet the path toward proof can be long, deceptive, and sometimes deeply humbling.

Few stories capture this tension better than the rise and fall of Euler’s sum of powers conjecture.

An idea from a giant

In the mid-18th century, :contentReference[oaicite:1]{index=1}, one of the most prolific and influential mathematicians in history, noticed a pattern that seemed natural.

He knew that for exponent 2, the equation

a² + b² = c²

has infinitely many solutions, while for exponent 3 no such two-term sum exists. This observation suggested a broader principle.

The conjecture

Euler proposed that for every integer exponent n > 2, the equation

aⁿ + bⁿ + cⁿ + … = zⁿ

cannot have solutions with fewer than n terms on the left-hand side.

In particular, no sum of four fifth powers should ever equal a single fifth power.

Two centuries of belief

The conjecture was never proven. But it was never refuted either.

For nearly two hundred years, no counterexample was known. Its apparent durability slowly transformed plausibility into belief.

The crack

In 1966, that belief collapsed. Using computer searches, Lander, Parkin, and Selfridge found a counterexample for n = 5:

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵

Euler’s conjecture was false. Quietly, decisively.

What this story teaches us

Euler’s conjecture was not careless. It was elegant, reasonable, and deep. It was simply untrue.

The episode reminds us that in mathematics, truth is not established by authority or longevity, but by proof.

And that even the strongest mathematical beliefs can fall to a single equation.