Θεώρημα του Lamé και Ευκλείδειος Αλγόριθμος: γιατί ο ΜΚΔ υπολογίζεται γρήγορα

📐 Θεώρημα του Lamé και ο Ευκλείδειος Αλγόριθμος

Το Θεώρημα του Lamé συνδέεται άμεσα με τον Ευκλείδειο Αλγόριθμο για τον υπολογισμό του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο ακεραίων. Δεν αφορά το τι υπολογίζει ο αλγόριθμος, αλλά το πόσο γρήγορα το κάνει.

Το θεώρημα δηλώνει ότι ο αριθμός των βημάτων του Ευκλείδειου Αλγορίθμου για δύο θετικούς ακεραίους δεν ξεπερνά ένα σταθερό πολλαπλάσιο του αριθμού ψηφίων του μικρότερου από τους δύο. Με άλλα λόγια, ο αλγόριθμος είναι αποτελεσματικός ακόμη και για πολύ μεγάλους αριθμούς.

Ένα κλασικό παράδειγμα είναι:

$$34 = 1\cdot 20 + 14,\quad 20 = 1\cdot 14 + 6,\quad 14 = 2\cdot 6 + 2,\quad 6 = 3\cdot 2 + 0$$

οπότε $\gcd(34,20)=2$.

Το Θεώρημα του Lamé δείχνει ότι η «χειρότερη περίπτωση» του Ευκλείδειου Αλγορίθμου εμφανίζεται όταν οι αριθμοί είναι διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci. Ακόμη και τότε, όμως, ο αριθμός των βημάτων αυξάνεται μόνο λογαριθμικά, γεγονός που εξηγεί γιατί ο αλγόριθμος παραμένει θεμελιώδης στην αριθμοθεωρία, την κρυπτογραφία και την υπολογιστική μαθηματική.

Κάντε κλικ στην εικόνα.

🧠

Πόσο γρήγορα σκέφτεσαι;

Δοκίμασε το Math Chaser του EisatoponAI.
Ερωτήσεις, χρόνος και πίεση — καμία δεύτερη σκέψη.

⏱️ Χρόνος 🎯 Ακρίβεια 🔥 Πίεση

Παίξε το Chaser ▶