Η φόρμουλα του Machin και το μυστικό του αριθμού π
Υπάρχουν μαθηματικοί τύποι που δεν είναι απλώς χρήσιμοι — είναι ιστορικοί. Ένας από αυτούς είναι η περίφημη φόρμουλα του Machin, η οποία για περισσότερους από δύο αιώνες αποτέλεσε το βασικό εργαλείο για τον ακριβή υπολογισμό του αριθμού π.
\[ \frac{\pi}{4} = 4\arctan\!\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\!\left(\frac{1}{239}\right) \]
Η σχέση αυτή δημοσιεύθηκε το 1706 από τον Άγγλο μαθηματικό John Machin και βασίζεται σε έναν ευφυή συνδυασμό αντίστροφων εφαπτομένων με «κατάλληλους» παρονομαστές.
Γιατί η φόρμουλα είναι τόσο σημαντική;
Η δύναμη της φόρμουλας του Machin δεν βρίσκεται στη μορφή της, αλλά στη σύγκλιση. Ο όρος arctan(1/239) είναι εξαιρετικά μικρός, με αποτέλεσμα οι σχετικές σειρές Taylor να συγκλίνουν πολύ γρήγορα.
Αυτό επέτρεψε σε μαθηματικούς του 18ου, 19ου και 20ού αιώνα να υπολογίσουν το π με εκατοντάδες — και αργότερα χιλιάδες — δεκαδικά ψηφία, πολύ πριν την εποχή των υπολογιστών.
Μια ιστορική λεπτομέρεια που αξίζει να γνωρίζετε
Αν και η φόρμουλα φέρει το όνομα του Machin, οι σειρές για την arctan είχαν ήδη ανακαλυφθεί από τον Ινδό μαθηματικό Madhava τον 14ο αιώνα και αργότερα επανεμφανίστηκαν στο έργο του James Gregory.
Η ιδιοφυΐα του Machin ήταν ο συγκεκριμένος συνδυασμός που μετέτρεψε τη θεωρία σε υπολογιστικό όπλο.
📌 Σήμερα γνωρίζουμε τα ψηφία του π σε τρισεκατομμύρια θέσεις, αλλά για αιώνες ο δρόμος προς αυτά περνούσε από αυτήν ακριβώς τη φόρμουλα.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου