Ένα κομψό ολοκλήρωμα στο R με συνημίτονο

Ένα κομψό ολοκλήρωμα στο ℝ

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα στο πραγματικό άξονα:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{(x^2+1)^2}\,dx \]

Λύση

Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα \[ \cos x = \Re\left(e^{ix}\right). \] Εξετάζουμε το ολοκλήρωμα

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{(x^2+1)^2}\,dx. \]

Από γνωστό αποτέλεσμα της μιγαδικής ανάλυσης, για κάθε \(a>0\) ισχύει:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{iax}}{(x^2+1)^2}\,dx = \frac{\pi}{2}(1+a)e^{-a}. \]

Θέτοντας \(a=1\), προκύπτει:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{(x^2+1)^2}\,dx = \frac{\pi}{e}. \]

Λαμβάνοντας το πραγματικό μέρος, καταλήγουμε:

\[ \boxed{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{(x^2+1)^2}\,dx = \frac{\pi}{e} } \]

EisatoponAI — Your Daily Experience of Math Adventures