Το Παράδοξο του Ρικάρ: όταν μια πρόταση “γεννά” έναν αριθμό που δεν επιτρέπεται να γεννήσει
Στα μαθηματικά υπάρχει μια παρηγορητική βεβαιότητα: τα σύμβολα είναι αυστηρά και οι κανόνες αμετάβλητοι. Αν συμφωνήσουμε ότι το 2 συμβολίζει τον αριθμό δύο, τότε αυτό δεν αλλάζει ποτέ. Αν μια απόδειξη είναι σωστή, παραμένει σωστή ανεξάρτητα από το ποιος τη διαβάζει ή πότε τη διαβάζει. Γι’ αυτό συχνά πιστεύουμε ότι τα μαθηματικά είναι ένας κόσμος “καθαρός”, προστατευμένος από τις ασάφειες της καθημερινής γλώσσας.
Όμως υπάρχει μια λεπτή παγίδα: τα μαθηματικά χρησιμοποιούν γλώσσα για να εξηγηθούν, να διδαχθούν και να οριστούν. Και όταν η φυσική γλώσσα επιχειρεί να λειτουργήσει ως αυστηρό εργαλείο ορισμού, μπορούν να γεννηθούν αντιφάσεις.
Αυτή ακριβώς την παγίδα φωτίζει το Παράδοξο του Ρικάρ, που διατυπώθηκε στις αρχές του 20ού αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικό Ζιλ Ρικάρ (Jules Richard).
Το παράδοξο αυτό είναι εντυπωσιακό, όχι επειδή είναι “δύσκολο” τεχνικά, αλλά επειδή δείχνει ότι το πρόβλημα μπορεί να ξεκινήσει από κάτι φαινομενικά αθώο: από μια πρόταση γραμμένη με απλά λόγια.
Πότε μια πρόταση ορίζει έναν αριθμό;
Ας σκεφτούμε πρώτα το εξής: μια πρόταση μπορεί να “κατονομάζει” έναν αριθμό χωρίς να τον γράφει. Για παράδειγμα, η φράση
«Η χρονιά που η πανδημία του COVID εμφανίστηκε στην Ελλάδα»
ορίζει καθαρά τον αριθμό 2020. Δεν τον αναφέρει με ψηφία, αλλά τον προσδιορίζει μοναδικά: κανείς δεν θα μπερδευτεί για το ποια χρονιά εννοεί.
Αντίθετα, η φράση
«Η κοινωνικοπολιτική επίπτωση της πανδημίας του COVID στην Ελλάδα»
μπορεί να είναι ενδιαφέρον θέμα, αλλά δεν αντιστοιχεί σε κάποιον συγκεκριμένο ακέραιο αριθμό.
Άρα προκύπτει μια διάκριση: υπάρχουν προτάσεις που ορίζουν μοναδικά έναν αριθμό και άλλες που απλώς περιγράφουν έννοιες χωρίς αριθμητικό αντίκρισμα.
Αυτό το “ορίζει” είναι το κρίσιμο σημείο: σημαίνει ότι με μια γλωσσική περιγραφή, μπορούμε να προσδιορίσουμε αυστηρά ποιον αριθμό εννοούμε.
Οι αριθμοί που “χωρούν” σε λίγες λέξεις
Αν δώσουμε έναν περιορισμό, όπως “να χρησιμοποιούνται λίγες λέξεις”, τότε προκύπτει κάτι ενδιαφέρον. Υπάρχουν μόνο πεπερασμένες προτάσεις που αποτελούνται από λιγότερες από έναν συγκεκριμένο αριθμό λέξεων. Ακόμη κι αν δεχθούμε ότι η γλώσσα μπορεί να παράγει άπειρες προτάσεις, το πλήθος των προτάσεων με “μήκος” κάτω από ένα όριο είναι πεπερασμένο.
Από αυτές τις προτάσεις, οι περισσότερες είναι ανοησίες ή ασυνάρτητες. Κάποιες βγάζουν νόημα. Και από αυτές, μόνο ένα μέρος ορίζει καθαρά έναν θετικό ακέραιο αριθμό. Έτσι, αν συλλέξουμε όλους τους αριθμούς που μπορούν να οριστούν με τέτοιες σύντομες προτάσεις, παίρνουμε ένα πεπερασμένο σύνολο ακεραίων.
Και εδώ υπάρχει ένα απλό μαθηματικό γεγονός: από κάθε πεπερασμένο σύνολο θετικών ακεραίων λείπει κάποιος θετικός ακέραιος. Μάλιστα, υπάρχει και ο μικρότερος θετικός ακέραιος που λείπει.
Αυτός ο μικρότερος “απόντας” αριθμός φαίνεται να είναι τέλεια ορισμένος ως έννοια: είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος που δεν περιγράφεται από σύντομη πρόταση. Μέχρι εδώ δεν υπάρχει πρόβλημα. Το πρόβλημα εμφανίζεται στο επόμενο βήμα.
Η πρόταση που προκαλεί το παράδοξο
Τώρα εξετάζουμε την ακόλουθη πρόταση:
«Ο μικρότερος θετικός ακέραιος αριθμός που δεν μπορεί να οριστεί με μια πρόταση στην ελληνική γλώσσα που να αποτελείται από λιγότερες από είκοσι τρεις λέξεις».
Αν αυτή η πρόταση έχει νόημα, τότε περιγράφει έναν συγκεκριμένο αριθμό: τον μικρότερο από αυτούς που δεν “χωρούν” σε προτάσεις με λιγότερες από 23 λέξεις.
Όμως εδώ συμβαίνει το σοκ: η ίδια η πρόταση είναι μια πρόταση με λιγότερες από 23 λέξεις (ή, αν το όριο αλλάξει λίγο, μπορεί να τροποποιηθεί έτσι ώστε να είναι). Δηλαδή φαίνεται να ορίζει ακριβώς τον αριθμό που ισχυρίζεται ότι δεν μπορεί να οριστεί έτσι.
Με απλά λόγια:
Η πρόταση λέει “δεν μπορείς να με ορίσεις με τόσο λίγες λέξεις”,
και ταυτόχρονα λέει “κοίτα, μόλις σε όρισα με τόσο λίγες λέξεις”.
Η αντίφαση δεν είναι τεχνική· είναι λογική. Είναι ένα είδος αυτοαναφοράς που θυμίζει άλλα διάσημα παράδοξα, όπως το “αυτός που λέει ψέματα”. Η πρόταση μιλά για το τι μπορεί να γίνει με προτάσεις, ενώ η ίδια είναι τέτοια πρόταση.
Γιατί αυτό δεν είναι απλώς λογοπαίγνιο
Θα μπορούσε κανείς να πει: “εντάξει, απλώς η γλώσσα είναι ασαφής”. Αλλά ιστορικά, τέτοιες αντιφάσεις δεν αντιμετωπίστηκαν ως ασήμαντες. Ήταν καμπανάκι για κάτι βαθύτερο: ότι όταν επιτρέπουμε στη γλώσσα να ορίζει μαθηματικά αντικείμενα χωρίς αυστηρό φορμαλισμό, τότε κινδυνεύουμε να πέσουμε σε αντιφάσεις.
Οι λογικές κρίσεις των αρχών του 20ού αιώνα (παράδοξα Russell, Richard κ.ά.) οδήγησαν σταδιακά σε μια νέα εποχή: στην ανάπτυξη αυστηρών τυπικών συστημάτων, στον φορμαλισμό, και τελικά σε θεμελιώδη αποτελέσματα όπως τα Θεωρήματα Μη-Πληρότητας του Gödel. Το παράδοξο του Ρικάρ δεν είναι λοιπόν μια ιδιοτροπία: είναι ένα παράθυρο στα όρια του τι μπορεί να εκφράσει μια γλώσσα όταν θέλει να είναι ταυτόχρονα φυσική και απολύτως μαθηματική.
Ένα λογοτεχνικό κλείσιμο για μια μαθηματική προειδοποίηση
Το πρόβλημα με τις λέξεις το είχε αντιληφθεί ο Lewis Carroll μέσα από τη φωνή του Χάμπτι Ντάμπτι στο Μέσα στον καθρέπτη:
«Όταν χρησιμοποιώ μια λέξη», είπε ο Χάμπτι Ντάμπτι,
«αυτή σημαίνει αυτό ακριβώς που διάλεξα να σημαίνει. Τίποτε λιγότερο, τίποτε περισσότερο».
«Το ερώτημα είναι», είπε η Αλίκη, «αν μπορείς να κάνεις τις λέξεις να σημαίνουν τόσο πολλά διαφορετικά πράγματα».
«Το ερώτημα είναι», είπε ο Χάμπτι Ντάμπτι, «ποιος θα είναι το αφεντικό. Αυτό είναι όλο».
Και αυτό είναι ίσως το πιο βαθύ μήνυμα του παραδόξου του Ρικάρ: όταν οι λέξεις προσπαθούν να κάνουν μαθηματικά, το πρόβλημα δεν είναι μόνο η σημασία τους, αλλά και η αυτοαναφορά. Το ερώτημα δεν είναι μόνο “τι λέμε”, αλλά και “ποιος ορίζει τους κανόνες του ορισμού”.
EisatoponAI – Your Daily Experience of Math Adventures
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου