The Integral (Calculus) Form of Coulomb’s Law for Continuous Charge Distributions

Η ολοκληρωτική (calculus) μορφή του Νόμου του Coulomb

Ο νόμος του Coulomb εισάγεται συνήθως για τη δύναμη ή το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται από σημειακά φορτία. Στην πράξη, όμως, τα φορτία είναι συνήθως συνεχώς κατανεμημένα στον χώρο (γραμμές, επιφάνειες ή όγκοι).

Για την περιγραφή τέτοιων καταστάσεων, ο νόμος του Coulomb γενικεύεται μέσω διανυσματικού λογισμού και ολοκληρωμάτων.

Στοιχειώδης συνεισφορά στο ηλεκτρικό πεδίο

Ένα στοιχειώδες φορτίο

\( dq = \rho(\mathbf{r}')\, dV' \)

που βρίσκεται στη θέση \( \mathbf{r}' \), δημιουργεί στη θέση παρατήρησης \( \mathbf{r} \) ένα στοιχειώδες ηλεκτρικό πεδίο:

\[ d\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\rho(\mathbf{r}')(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\, dV' \]

Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Coulomb

Ολοκληρώνοντας σε όλο τον χώρο όπου υπάρχει φορτίο, προκύπτει:

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}')(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\, dV' \]

Η παραπάνω σχέση είναι η ολοκληρωτική (integral) μορφή του νόμου του Coulomb και αποτελεί τη θεμελιώδη εξίσωση της ηλεκτροστατικής πεδίου.

Σχέση με τους νόμους της ηλεκτροστατικής

Από την ολοκληρωτική μορφή του Coulomb προκύπτουν άμεσα:

• Ο νόμος Gauss (διαφορική μορφή): \[ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]
• Η εξίσωση Poisson: \[ \nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \]
• Η εξίσωση Laplace, σε περιοχές χωρίς φορτίο.

Ο νόμος του Coulomb, επομένως, δεν είναι απλώς ένας τύπος για δυνάμεις, αλλά ένας θεμελιώδης νόμος πεδίου.

The Integral (Calculus) Form of Coulomb’s Law

Coulomb’s law is commonly introduced for the electric field produced by point charges. In realistic physical systems, however, electric charge is continuously distributed along lines, surfaces, or volumes.

To describe such systems, Coulomb’s law must be generalized using vector calculus and integrals.

Infinitesimal contribution to the electric field

An infinitesimal charge element

\( dq = \rho(\mathbf{r}')\, dV' \)

located at position \( \mathbf{r}' \) produces an infinitesimal electric field at the observation point \( \mathbf{r} \):

\[ d\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\rho(\mathbf{r}')(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\, dV' \]

Integral form of Coulomb’s law

Integrating over the entire charge distribution yields:

\[ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}')(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\, dV' \]

This expression is known as the integral (calculus) form of Coulomb’s law and forms the foundation of classical electrostatics.

Connection to Gauss and Poisson equations

From this formulation one directly obtains:

• Gauss’s law (differential form): \[ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]
• Poisson’s equation: \[ \nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \]
• Laplace’s equation in charge-free regions.

Thus, Coulomb’s law is not merely a force law, but a fundamental field equation.