Προτεινόμενο ΘΕΜΑ Δ Πανελλαδικών Εξετάσεων 2026 - Παραγωγίσιμη Συνάρτηση και Παράγουσα

Του Δημήτρη Σπαθάρα

Δίνεται μια παραγωγίσιμη συνάρτηση \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \) και μια παράγουσα \(F\) της \(f\) στο διάστημα \( (0,+\infty) \), για τις οποίες ισχύει:

\[ x^2 f(x) = (1-\ln x)\,F(x), \quad \text{για κάθε } x>0. \]

Επιπλέον, δίνεται ότι η κλίση της γραφικής παράστασης της \(f\) στο σημείο \( M(e,f(e)) \) είναι:

\[ f'(e)= -e^{\frac{1-3e}{e}}. \]

---

Δ1

Να δείξετε ότι η συνάρτηση

\[ g(x)=x^{-\frac{1}{x}}\,F(x), \quad x>0, \]

είναι σταθερή.

---

Δ2

(α)

Να υπολογίσετε το όριο:

\[ \lim_{x\to e}\frac{f(x)}{\ln x -1}. \]

(β)

Να δείξετε ότι:

\[ F(e)=e^{\frac{1}{e}} \quad \text{και} \quad F(x)=x^{\frac{1}{x}}, \ \text{για κάθε } x>0. \]

---

Δ3

(α)

Να μελετήσετε τη συνάρτηση \(F\) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

(β)

Να δείξετε ότι:

\[ F(2)=F(4) \]

και να λύσετε την εξίσωση:

\[ F(x)=\sqrt{2}, \quad x>0. \]

---

Δ4

Να αποδείξετε ότι:

\[ \int_{1}^{e} F(x)\,dx > e-\frac{1}{2}. \]

🧠

Math Chaser - EisatoponAI

⏱️ Χρόνος 🎯 Ακρίβεια 🔥 Πίεση

Πόσο γρήγορα σκέφτεσαι; Δοκίμασε το Math Chaser.
Ερωτήσεις, χρόνος και πίεση — καμία δεύτερη σκέψη.

Παίξε το Chaser ▶