Bidding in the Dark – Πόσο πρέπει να προσφέρεις όταν δεν ξέρεις την αξία;

Bidding in the Dark – Προσφορά στα τυφλά

Έχεις την ευκαιρία να κάνεις μία και μοναδική προσφορά για ένα «widget». Η πραγματική αξία του widget για τον ιδιοκτήτη του, κάπου ανάμεσα στα 0€ και 100€, είναι για σένα εντελώς άγνωστη – τη θεωρείς ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα \([0,100]\).

Γνωρίζεις όμως κάτι σημαντικό: είσαι πολύ καλύτερος στη χρήση αυτού του widget από τον τωρινό ιδιοκτήτη. Η αξία του για σένα είναι 80% μεγαλύτερη από την αξία που έχει για εκείνον. Με άλλα λόγια, αν για τον πωλητή η αξία είναι \(v\), για σένα είναι \(1{,}8v\).

Ο πωλητής έχει απλό κανόνα: αν προσφέρεις ποσό μεγαλύτερο από την αξία που έχει για εκείνον (δηλαδή αν η προσφορά σου \(b\) ικανοποιεί \(b > v\)), θα σου το πουλήσει. Διαφορετικά, θα κρατήσει το widget. Εσύ έχεις μόνο ένα «πυροβολισμό» – μία προσφορά.

Πόσο πρέπει να προσφέρεις, ώστε να μεγιστοποιήσεις την αναμενόμενη (προσδοκώμενη) κερδοφορία σου;

Μετάφραση σε μαθηματικά

• Η άγνωστη αξία του widget για τον πωλητή είναι τυχαία μεταβλητή \(V \sim \text{Uniform}(0,100)\).
• Η αξία του widget για εσένα είναι \(1{,}8V\).
• Αν κάνεις προσφορά \(b\), τότε:
  • Αν \(b \le V\): η συναλλαγή δεν γίνεται, το κέρδος σου είναι 0.
  • Αν \(b > V\): αγοράζεις το widget, το κέρδος σου είναι \(1{,}8V - b\).