Το Κέρας του Γαβριήλ – Το Σώμα με Πεπερασμένο Όγκο και Άπειρη Επιφάνεια

Το Κέρας του Γαβριήλ

Το Σώμα που Γεμίζει αλλά Δεν Βάφεται

---

Υπάρχει ένα μαθηματικό σώμα που μπορεί να γεμίσει με πεπερασμένη ποσότητα υλικού, αλλά δεν μπορεί να βαφτεί, γιατί η επιφάνειά του είναι άπειρη. Το σώμα αυτό είναι γνωστό ως Κέρας του Γαβριήλ.

---

Η Κατασκευή

\[ y = \frac{1}{x}, \quad x \ge 1 \]

Περιστρέφουμε την καμπύλη γύρω από τον άξονα \(x\).

---

Υπολογισμός Όγκου

\[ V = \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x^2} dx \]

\[ V = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^a = \pi \left(1 - \frac{1}{a}\right) \]

\[ \lim_{a \to \infty} V = \pi \]

Ο όγκος είναι πεπερασμένος.

---

Υπολογισμός Επιφάνειας

\[ A = 2\pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x}\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}\, dx \]

\[ A > 2\pi \int_{1}^{a} \frac{dx}{x} = 2\pi \ln a \]

\[ \lim_{a \to \infty} A = \infty \]

Η επιφάνεια είναι άπειρη.

---

Το Παράδοξο

• ✔ Έχει πεπερασμένο όγκο → μπορεί να γεμίσει.
• ✖ Έχει άπειρη επιφάνεια → δεν μπορεί να βαφτεί.

---

EisatoponAI – Exploring the Infinite