Η ανισότητα Cauchy–Schwarz
Η ανισότητα Cauchy–Schwarz είναι μία από τις πιο θεμελιώδεις και χρήσιμες ανισότητες στα μαθηματικά. Εμφανίζεται στη γραμμική άλγεβρα, στην ανάλυση, στη θεωρία πιθανοτήτων και σε κάθε χώρο με εσωτερικό γινόμενο. Αποτελεί βασικό εργαλείο στη μελέτη διανυσμάτων, συναρτήσεων και τυχαίων μεταβλητών.
Λίγη ιστορία
- Ο Augustin-Louis Cauchy (1821) τη διατύπωσε για πεπερασμένα αθροίσματα.
- Ο Viktor Bunyakovsky (1859) την επέκτεινε σε ολοκληρωτική μορφή.
- Ο Hermann Schwarz (1888) έδωσε αυστηρή γενική απόδειξη.
Συχνά συναντάται και ως ανισότητα Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz.
Η αλγεβρική μορφή
Για πραγματικούς αριθμούς \(a_1,\dots,a_n\) και \(b_1,\dots,b_n\), ισχύει:
\[ \left(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n\right)^2 \le \left(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2\right) \left(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2\right). \]
Η ισότητα συμβαίνει αν και μόνο αν οι δύο ακολουθίες είναι ανάλογες, δηλαδή όταν υπάρχει σταθερά \( \lambda \) τέτοια ώστε \( a_i = \lambda b_i \) για κάθε \( i \).
Η μορφή με εσωτερικό γινόμενο
Σε κάθε χώρο με εσωτερικό γινόμενο, για διανύσματα \(x\) και \(y\), ισχύει:
\[ \bigl|\langle x, y \rangle\bigr| \le \|x\|\,\|y\|. \]
Δηλαδή, η απόλυτη τιμή του εσωτερικού γινομένου δεν μπορεί να υπερβεί το γινόμενο των μηκών.
Γεωμετρική ερμηνεία
Στον ευκλείδειο χώρο:
\[ \langle x,y\rangle = \|x\|\,\|y\|\cos\theta. \]
Επειδή \(|\cos\theta| \le 1\), προκύπτει άμεσα η ανισότητα. Η Cauchy–Schwarz εκφράζει το γεγονός ότι η «σκιά» ενός διανύσματος πάνω σε ένα άλλο δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από το πλήρες μήκος του.
Παράδειγμα
Για τα διανύσματα \( (1,2) \) και \( (3,4) \):
\[ (1\cdot3 + 2\cdot4)^2 = 11^2 = 121 \]
\[ (1^2+2^2)(3^2+4^2) = 5 \cdot 25 = 125 \]
Πράγματι, \(121 \le 125\).
Εφαρμογή στη θεωρία πιθανοτήτων
Για τυχαίες μεταβλητές \(X\) και \(Y\) με πεπερασμένες ροπές δεύτερης τάξης:
\[ \bigl|E(XY)\bigr| \le \sqrt{E(X^2)\,E(Y^2)}. \]
Από εδώ προκύπτει ότι ο συντελεστής συσχέτισης ικανοποιεί:
\[ |\rho(X,Y)| \le 1. \]
Πίσω από τον απλό τύπο κρύβεται μια βαθιά γεωμετρική δομή. Η ανισότητα Cauchy–Schwarz δεν είναι απλώς τεχνικό εργαλείο· είναι ένας από τους βασικούς πυλώνες πάνω στους οποίους στηρίζεται ολόκληρη η θεωρία των εσωτερικών γινομένων.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου