Παραμετρική Καμπύλη από Τριγωνομετρικές Σειρές – Μαθηματική Τέχνη και Ανάλυση Fourier

Μια Εντυπωσιακή Παραμετρική Καμπύλη από Τριγωνομετρικές Σειρές

Η καμπύλη που βλέπουμε προκύπτει από το παρακάτω παραμετρικό σύστημα:

x(t) = Σ_i=1ⁿ sin(it + iφ) / i

y(t) = Σ_i=1ⁿ cos(it + iφ) / i

0 ≤ t ≤ 2π

---

Τι Συμβαίνει Μαθηματικά;

Κάθε όρος της σειράς έχει:

• Συχνότητα i (όσο μεγαλώνει το i, αυξάνεται η ταλάντωση)
• Πλάτος 1/i (όσο μεγαλώνει το i, μειώνεται η ένταση)

Οι πρώτοι όροι καθορίζουν τη γενική μορφή της καμπύλης, ενώ οι επόμενοι προσθέτουν λεπτομέρειες και σπειροειδή χαρακτηριστικά.

---

Σχέση με Ανάλυση Fourier

Η μορφή αυτή αποτελεί υπέρθεση:

• Ημιτόνων
• Συνημιτόνων
• Διαφορετικών συχνοτήτων
• Φθίνοντος πλάτους

Πρόκειται ουσιαστικά για μια γεωμετρική απεικόνιση φθίνουσας τριγωνομετρικής σειράς, παρόμοιας με ανάπτυγμα Fourier.

---

Γιατί Δημιουργούνται Σπείρες;

Οι υψηλές συχνότητες με μικρό πλάτος προκαλούν μικρές περιστροφές γύρω από μεγαλύτερες δομές.

Έτσι προκύπτουν:

• Μεγάλες καμπύλες από μικρά i
• Μικρές «σπείρες» από μεγάλα i
• Αυτοομοιότητα σε διαφορετικές κλίμακες

---

Δοκίμασέ το στο Desmos

Μπορείς να πειραματιστείς με τις παραμέτρους και τον αριθμό των όρων στο παρακάτω διαδραστικό γράφημα:

👉 Δες το διαδραστικό γράφημα στο Desmos

---

Όταν η Ανάλυση συναντά τη Γεωμετρία, τα Μαθηματικά γίνονται ορατά.