Galton Board – Πώς η Τυχαιότητα Δημιουργεί την Κανονική Κατανομή

Η Galton Board: Όταν η Τυχαιότητα Δημιουργεί Νόμο

Στο βίντεο βλέπουμε μια εντυπωσιακή συσκευή: μικρές μπίλιες πέφτουν από την κορυφή, χτυπούν καρφάκια και τελικά συγκεντρώνονται σε κουτιά στο κάτω μέρος. Στην αρχή όλα φαίνονται εντελώς τυχαία. Κι όμως, το τελικό σχήμα δεν είναι καθόλου τυχαίο.

Τι είναι η Galton Board;

Η Galton Board (ή Quincunx) σχεδιάστηκε από τον Francis Galton για να δείξει οπτικά πώς προκύπτει η κανονική κατανομή – η γνωστή “καμπύλη καμπάνας”.

Κάθε μπίλια, σε κάθε σύγκρουση με καρφάκι, έχει περίπου 50% πιθανότητα να κινηθεί αριστερά και 50% να κινηθεί δεξιά.

Άρα η πορεία της κάθε μπίλιας είναι τυχαία. Όμως όταν ρίξουμε πολλές μπίλιες, το αποτέλεσμα σχηματίζει μια συμμετρική καμπύλη.

Τι Μαθηματικά Κρύβονται Πίσω από το Βίντεο;

Η κατανομή που βλέπουμε είναι η διωνυμική κατανομή:

P(k) = C(n,k) · (1/2)ⁿ

Όπου:

• n = αριθμός επιπέδων καρφιών
• k = αριθμός μετακινήσεων προς τα δεξιά
• C(n,k) = συνδυασμοί

Όταν το n μεγαλώνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει την κανονική κατανομή (Normal Distribution). Αυτό είναι μια πρακτική επιβεβαίωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος.

Το Μεγάλο Μάθημα

Κάθε μπίλια κινείται με απόλυτη τυχαιότητα.

Όλες μαζί όμως δημιουργούν ένα προβλέψιμο και σταθερό μοτίβο.

Αυτό είναι ένα από τα πιο βαθιά μηνύματα της στατιστικής: το χάος σε μικρή κλίμακα μπορεί να δημιουργήσει τάξη σε μεγάλη κλίμακα.

Γιατί Είναι Σημαντικό;

• Εξηγεί γιατί τόσα φυσικά φαινόμενα ακολουθούν καμπύλη καμπάνας.
• Θεμελιώνει τη στατιστική και την ανάλυση δεδομένων.
• Είναι η βάση για machine learning, οικονομικά, φυσική και κοινωνικές επιστήμες.

Από το τυχαίο... γεννιέται ο νόμος.