Η Ανισότητα του John Napier – Η Γεωμετρική Ιδέα Πίσω από τους Λογαρίθμους

Η Ανισότητα του John Napier

Αν 0 < a < b, τότε

1/b < (ln b − ln a)/(b − a) < 1/a

---

Τι Εκφράζει η Ανισότητα;

Η ποσότητα:

(ln b − ln a)/(b − a)

είναι ο μέσος ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης ln(x) στο διάστημα [a, b].

Η παράγωγος της ln(x) είναι:

(ln x)' = 1/x

Επειδή η 1/x είναι φθίνουσα συνάρτηση, ισχύει:

1/b < 1/x < 1/a

για κάθε x στο (a, b).

---

Η Βαθύτερη Ιδέα

Η Ανισότητα του Napier λέει ουσιαστικά ότι:

• Ο μέσος ρυθμός μεταβολής μιας φθίνουσας συνάρτησης βρίσκεται μεταξύ των τιμών της στα άκρα.

Δηλαδή:

1/b < (ln b − ln a)/(b − a) < 1/a

Αυτό είναι άμεση συνέπεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.

---

Γεωμετρική Ερμηνεία

Η ln(b) − ln(a) ισούται με το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη y = 1/x στο διάστημα [a, b].

Το εμβαδόν αυτό βρίσκεται:

• Μεγαλύτερο από το ορθογώνιο ύψους 1/b
• Μικρότερο από το ορθογώνιο ύψους 1/a

Άρα προκύπτει φυσικά η ανισότητα.

---

Γιατί Ήταν Τόσο Σημαντική;

Ο John Napier (1550–1617), δημιουργός των λογαρίθμων, χρησιμοποιούσε τέτοιου τύπου «περικλείσεις» για να υπολογίζει λογαρίθμους.

Η ιδέα ήταν:

• Βρίσκουμε δύο απλές εκφράσεις που περικλείουν την τιμή.
• «Σάντουιτς» την άγνωστη ποσότητα ανάμεσα σε δύο γνωστές.
• Βελτιώνουμε την ακρίβεια προοδευτικά.

Αυτός ήταν ο πυρήνας των υπολογισμών λογαρίθμων πριν την εποχή των αριθμομηχανών.

---

Η Μαθηματική Ομορφιά

Η ανισότητα δείχνει κάτι βαθύτερο:

• Οι λογάριθμοι συνδέονται άμεσα με τη γεωμετρία.
• Η μονοτονία μιας παραγώγου ελέγχει τον μέσο ρυθμό μεταβολής.
• Οι εκτιμήσεις μπορούν να είναι εξαιρετικά ακριβείς χωρίς ακριβή υπολογισμό.

---

Πριν τους υπολογιστές, τα Μαθηματικά βασίζονταν στην τέχνη της εκτίμησης.