Το γινόμενο του Wallis: Όταν το π γράφτηκε ως άπειρο γινόμενο

Το γινόμενο του Wallis: μια ιστορική αναπαράσταση του π

Το 1655, ο Άγγλος μαθηματικός John Wallis παρουσίασε ένα από τα πιο κομψά αποτελέσματα στην ιστορία των μαθηματικών: μια αναπαράσταση του αριθμού π ως άπειρο γινόμενο.

Το γινόμενο του Wallis

Ο Wallis έδειξε ότι ισχύει:

\[ \frac{\pi}{2} = \frac{2\cdot2}{1\cdot3} \cdot \frac{4\cdot4}{3\cdot5} \cdot \frac{6\cdot6}{5\cdot7} \cdot \frac{8\cdot8}{7\cdot9} \cdot \ldots \]

Κάθε παράγοντας του γινομένου αποτελείται από ένα τετράγωνο άρτιου αριθμού στο αριθμητή και από δύο διαδοχικούς περιττούς αριθμούς στον παρονομαστή. Καθώς το γινόμενο συνεχίζεται επ’ άπειρον, η τιμή του συγκλίνει στο π/2.

Γιατί το αποτέλεσμα ήταν επαναστατικό

Μέχρι τα μέσα του 17ου αιώνα, το π ήταν γνωστό κυρίως μέσω γεωμετρικών προσεγγίσεων και αριθμητικών μεθόδων. Το γινόμενο του Wallis αποτέλεσε μία από τις πρώτες φορές που το π εκφράστηκε με τη βοήθεια απειροστικού λογισμού.

Η ιδέα ότι ένας καθαρά γεωμετρικός αριθμός μπορεί να προκύπτει από ένα άπειρο αλγεβρικό γινόμενο άνοιξε τον δρόμο για τη σύγχρονη μαθηματική ανάλυση.

Η θέση του γινομένου του Wallis στη σύγχρονη μαθηματική σκέψη

Σήμερα, το γινόμενο του Wallis θεωρείται θεμελιώδες παράδειγμα:

• σύγκλισης άπειρων γινομένων,
• σχέσης γεωμετρίας και ανάλυσης,
• πρώιμης εμφάνισης ιδεών του ολοκληρωτικού λογισμού.

Παρότι δεν είναι πρακτικό για αριθμητικούς υπολογισμούς του π, παραμένει ένα από τα ωραιότερα και ιστορικά σημαντικότερα αποτελέσματα των μαθηματικών.