Whose Bullet? – Μια άσκηση πιθανοτήτων τύπου Bayes

Whose Bullet? – Ποιανού ήταν η σφαίρα;

Δύο σκοπευτές, ο A και ο B, πυροβολούν ταυτόχρονα προς τον ίδιο μικρό στόχο. Ο A είναι πολύ καλός: πετυχαίνει τον στόχο στο \(75\%\) των βολών του. Ο B είναι αρκετά χειρότερος: πετυχαίνει τον στόχο μόνο στο \(25\%\) των προσπαθειών του.

Γίνεται μια ταυτόχρονη βολή. Ακούγονται δύο πυροβολισμοί και όταν καταλαγιάζει ο καπνός, βλέπεις ότι ο στόχος έχει χτυπηθεί ακριβώς μία φορά. Δεν γνωρίζεις ποιος από τους δύο τον πέτυχε, μόνο ότι μία και μόνο σφαίρα βρήκε τον στόχο.

Ποια είναι η πιθανότητα η σφαίρα που χτύπησε τον στόχο να προήλθε από τον A;

Στοιχεία του προβλήματος

• Πιθανότητα να πετύχει ο A: \(P(\text{hit by A}) = 0{,}75\).
• Πιθανότητα να πετύχει ο B: \(P(\text{hit by B}) = 0{,}25\).
• Οι βολές θεωρούνται ανεξάρτητες.
• Γνωρίζουμε ότι τελικά υπήρξε ακριβώς ένα χτύπημα στον στόχο.