Happy Pi Day! – Πώς οι μαθηματικοί προσέγγισαν το π μέσα στους αιώνες

Ο αριθμός π είναι ίσως ο πιο διάσημος σταθερός αριθμός στα μαθηματικά.

Εκφράζει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του:

$$\pi =\frac{C}{\mathrm{d}}$$

Η τιμή του αρχίζει ως:

$$\pi =3.141592653589793\dots$$

και συνεχίζεται άπειρα χωρίς επανάληψη.

Η εικόνα παρουσιάζει —με έναν μάλλον… «χαοτικό» αλλά διασκεδαστικό τρόπο— πώς η ανθρωπότητα προσπάθησε να προσεγγίσει την τιμή του π μέσα στους αιώνες.

Αρχαίες προσεγγίσεις

Οι πρώτες προσεγγίσεις εμφανίζονται ήδη σε αρχαίους πολιτισμούς:

• Βαβυλώνιοι:

  $$\pi \approx 3.125$$

• Αιγύπτιοι (Rhind Papyrus):

  $$\pi \approx 3.1605$$

Η μέθοδος του Αρχιμήδη

Ο Αρχιμήδης (3ος αιώνας π.Χ.) χρησιμοποίησε κανονικά πολύγωνα μέσα και έξω από έναν κύκλο και έδειξε ότι:

$$3.1408 < \pi < 3.1429$$

μια εξαιρετικά ακριβής προσέγγιση για την εποχή του.

Νεότερες μαθηματικές μέθοδοι

Με την ανάπτυξη της ανάλυσης εμφανίστηκαν σειρές όπως:

σειρά του Leibniz

$$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots$$

ή πιο γρήγορες συγκλίνουσες σειρές όπως αυτές του Ramanujan.

Η εποχή των υπολογιστών

Σήμερα, με τη βοήθεια υπολογιστών, έχουν υπολογιστεί τρισεκατομμύρια ψηφία του π, αν και για τις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές αρκούν λίγες δεκαδικές.

Ένας άπειρος αριθμός

Το π είναι:

• άπειρος δεκαδικός αριθμός

• μη περιοδικός

• υπερβατικός αριθμός

και εμφανίζεται σε πλήθος μαθηματικών τύπων, από τη γεωμετρία μέχρι την πιθανότητα και τη φυσική.

Η ιστορία της προσέγγισης του π δείχνει πώς μια απλή γεωμετρική ιδέα μπορεί να οδηγήσει σε μερικά από τα βαθύτερα αποτελέσματα των μαθηματικών.