Υπολογισμός Μαγνητικού Πεδίου σε Εκθετική Σπείρα (r = e^θ) με τον Νόμο Biot–Savart

Μαγνητικό πεδίο στο κέντρο εκθετικής σπείρας

Η σωστή απάντηση είναι η (4):

\[ B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\left(1-e^{-2\pi}\right) \]

🧠 Βασική ιδέα

Το ευθύγραμμο τμήμα του σύρματος βρίσκεται πάνω στον άξονα \(x\), άρα για κάθε στοιχειώδες τμήμα του ισχύει:

\[ d\vec{\ell}\parallel \vec{r} \]

Επομένως:

\[ d\vec{\ell}\times \hat{r}=0 \] άρα το ευθύγραμμο τμήμα δεν συνεισφέρει στο μαγνητικό πεδίο στο κέντρο \(O\).

Συνεπώς, μόνο η σπείρα \(r=e^\theta\), για \(0\le \theta \le 2\pi\), συμβάλλει στο πεδίο.

📐 Εφαρμογή του νόμου Biot–Savart

Από τον νόμο Biot–Savart:

\[ dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\ell \sin\phi}{r^2} \]

Για καμπύλη σε πολικές συντεταγμένες, το στοιχείο που συνεισφέρει στο πεδίο στο κέντρο είναι το εγκάρσιο μέρος \(r\,d\theta\). Άρα:

\[ dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{r\,d\theta}{r^2} =\frac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{d\theta}{r} \]

Εφόσον \(r=e^\theta\), παίρνουμε:

\[ dB=\frac{\mu_0 I}{4\pi}e^{-\theta}d\theta \]

✏️ Ολοκλήρωση

Ολοκληρώνουμε από \(0\) έως \(2\pi\):

\[ B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_0^{2\pi} e^{-\theta}\,d\theta \]

Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα:

\[ B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\left[-e^{-\theta}\right]_0^{2\pi} \]

\[ B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\left(1-e^{-2\pi}\right) \]

✅ Τελικό αποτέλεσμα

\[ \boxed{B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\left(1-e^{-2\pi}\right)} \] Άρα η σωστή επιλογή είναι η (4).

🔎 Περισσότερα μαθηματικά και φυσική στο EisatoponAI – Your Daily Experience of Math Adventures