Γιατί η παράγωγος του sin είναι cos; Η εξήγηση μέσω του μοναδιαίου κύκλου

Παράγωγοι και Ολοκληρώματα των sin και cos στον Μοναδιαίο Κύκλο

Ο μοναδιαίος κύκλος είναι ένας κύκλος ακτίνας 1 με κέντρο το σημείο (0,0). Αν ένα σημείο πάνω στον κύκλο σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα x, τότε οι συντεταγμένες του είναι:

( cosθ , sinθ )

Δηλαδή:

• cosθ είναι η οριζόντια συντεταγμένη
• sinθ είναι η κατακόρυφη συντεταγμένη

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει η θεμελιώδης ταυτότητα:

cos²θ + sin²θ = 1

Γιατί η παράγωγος του sin είναι cos

Καθώς το σημείο κινείται πάνω στον κύκλο, η γωνία θ μεταβάλλεται. Το ύψος του σημείου είναι sinθ. Ο ρυθμός μεταβολής αυτού του ύψους είναι η παράγωγος.

d/dθ (sinθ) = cosθ

Με παρόμοια γεωμετρική σκέψη προκύπτει:

d/dθ (cosθ) = − sinθ

Οι δύο συναρτήσεις εναλλάσσονται συνεχώς μέσα από τις παραγώγους τους.

Ολοκληρώματα των sin και cos

Η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης είναι το ολοκλήρωμα. Έτσι παίρνουμε:

∫ cos x dx = sin x + C

∫ sin x dx = −cos x + C

Οι συναρτήσεις sin και cos δημιουργούν έναν κυκλικό ρυθμό παραγώγων:

sin → cos → −sin → −cos → sin

Διαδραστική απεικόνιση στο GeoGebra

Δείτε οπτικά τη σχέση μεταξύ του μοναδιαίου κύκλου, των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των παραγώγων τους στο παρακάτω διαδραστικό GeoGebra applet:

🔗 GeoGebra Interactive: Derivatives of Sine and Cosine

Το applet δείχνει:

• την κίνηση ενός σημείου στον μοναδιαίο κύκλο
• την προβολή του στα γραφήματα sin και cos
• τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου