Aκτίνα Περιγεγραμμένης Σφαίρας Τρισορθογώνιου Τετραέδρου

📐 Τρισορθογώνιο Τετράεδρο & Περιγεγραμμένη Σφαίρα

Δίνεται τρισορθογώνιο τετράεδρο \(OABC\), όπου η κορυφή \(O\) είναι η κορυφή της τρισορθογώνιας γωνίας.

Ισχύει: \[ OA = a,\quad OB = b,\quad OC = c,\quad (a,b,c>0) \]
Να υπολογιστεί η ακτίνα \(R\) της περιγεγραμμένης σφαίρας του τετραέδρου.

🔹 Βασική Ιδέα

Η λύση βασίζεται σε ένα έξυπνο γεωμετρικό τέχνασμα:

👉 Αν βρούμε ένα κατάλληλο τμήμα που λειτουργεί ως διάμετρος, τότε η περιγεγραμμένη σφαίρα προκύπτει άμεσα.

🔹 Κατασκευή

Έστω:

• \(M\) το μέσο της ακμής \(BC\)
• \(D\) το συμμετρικό του \(O\) ως προς το \(M\)

Τότε το τετράπλευρο \(OBDC\) είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

🔹 Γεωμετρικές Σχέσεις

Από την κατασκευή προκύπτει: \[ AB \perp BD \quad \text{και} \quad AC \perp CD \]
👉 Άρα τα σημεία \(O, B, C\) βλέπουν το \(AD\) υπό ορθή γωνία.

📌 Συμπέρασμα: Η σφαίρα με διάμετρο το \(AD\) είναι η περιγεγραμμένη.

🔹 Υπολογισμός

Στο τρίγωνο \(OAD\): \[ AD^2 = OA^2 + OD^2 \]
Επειδή: \[ OD^2 = OB^2 + OC^2 = b^2 + c^2 \]
έχουμε: \[ AD^2 = a^2 + b^2 + c^2 \]

🔹 Τελικό Βήμα

Επειδή: \[ AD = 2R \] προκύπτει: \[ 4R^2 = a^2 + b^2 + c^2 \]

✅ Τελικό αποτέλεσμα

\[ \boxed{R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

Πηγή: mathematica

Geometry Reveals Structure

Τα καλύτερα αποτελέσματα δεν έρχονται από πράξεις — αλλά από ιδέες.