Πρόβλημα Πιθανοτήτων – Ποιος πηγαίνει και στα δύο μαθήματα;

🧩 Πρόβλημα Πιθανοτήτων & Λογικής

👉 Μπορείς να βρεις την πιθανότητα;

Πέντε μαθητές: Αδάμ, Βέα, Κάρολος, Δανιήλ, Έρικ.

• Αδάμ & Βέα παρακολουθούν μόνο το 1ο μάθημα
• Κάρολος & Έρικ παρακολουθούν μόνο το 2ο μάθημα
• Δανιήλ παρακολουθεί και τα δύο

Κάθε μάθημα έχει ακριβώς 3 μαθητές.

👉 Κάθε μαθητής δείχνει τυχαία έναν συμμαθητή του από τα μαθήματα που παρακολουθεί (όχι τον εαυτό του).

👉 Η Roberta βλέπει μόνο αυτές τις κατευθυνόμενες συνδέσεις (ποιος δείχνει ποιον).

Ερώτηση:
Ποια είναι η πιθανότητα η Roberta να καταλάβει με βεβαιότητα ότι ο Δανιήλ είναι ο μόνος μαθητής που πηγαίνει και στα δύο μαθήματα;

👉 Δες τη λύση

Πώς σκέφτεται η Roberta;

Για να είναι σίγουρη ότι ο Δανιήλ είναι ο μόνος που πηγαίνει και στα δύο, πρέπει να δει τουλάχιστον μία σύνδεση από την ομάδα του 1ου μαθήματος (Αδάμ/Βέα) προς τον Δανιήλ και τουλάχιστον μία σύνδεση από την ομάδα του 2ου μαθήματος (Κάρολος/Έρικ) προς τον Δανιήλ.

Αν δεν υπάρχει σύνδεση από μία ομάδα, τότε η ομάδα αυτή μπορεί να είναι αυτόνομη, και ο Δανιήλ δεν θα φαίνεται απαραίτητα ως «γέφυρα».

Υπολογισμός

Κάθε μαθητής έχει τις εξής επιλογές:

• Αδάμ: 2 επιλογές (Βέα ή Δανιήλ) → Πιθανότητα να δείξει Δανιήλ = 1/2
• Βέα: 2 επιλογές (Αδάμ ή Δανιήλ) → Πιθανότητα να δείξει Δανιήλ = 1/2
• Κάρολος: 2 επιλογές → Πιθανότητα να δείξει Δανιήλ = 1/2
• Έρικ: 2 επιλογές → Πιθανότητα να δείξει Δανιήλ = 1/2
• Δανιήλ: 4 επιλογές (δεν επηρεάζει την παραπάνω συνθήκη)

Πιθανότητα κανένας από το 1ο μάθημα να μην δείξει Δανιήλ = (1/2) × (1/2) = 1/4

Άρα, πιθανότητα τουλάχιστον ένας από το 1ο να δείξει Δανιήλ = 1 − 1/4 = 3/4

Αντίστοιχα για το 2ο μάθημα: πιθανότητα τουλάχιστον ένας να δείξει Δανιήλ = 3/4

Οι δύο ομάδες επιλέγουν ανεξάρτητα, οπότε η συνολική πιθανότητα είναι:

(3/4) × (3/4) = 9/16

Σημείωση: Η επιλογή του Δανιήλ δεν επηρεάζει τη βασική αυτή συνθήκη, γι’ αυτό δεν μπαίνει στον υπολογισμό.

Η πιθανότητα είναι 9/16