6 Μαθηματικά Προβλήματα που Μόνο οι Πολύ Δυνατοί Λύνουν
Μπορείς να λύσεις όλα τα παρακάτω; 🔥
Τα προβλήματα αυτά απαιτούν συνδυαστική σκέψη, αλγεβρική τεχνική και βαθιά κατανόηση των μαθηματικών.
Πρόβλημα 1
Να λυθεί η ανίσωση
$$ \frac{\sqrt{-3x^{2}-5x+2}+2}{x} < 2. $$
$$ \frac{\sqrt{-3x^{2}-5x+2}+2}{x} < 2. $$
Πρόβλημα 2
Να λυθεί το σύστημα
$$ \begin{cases} x^{2}-8y^{3} = 2xy(1-2y),\\[4pt] \sqrt{x^{3}+4x} = 1+\dfrac{(2y+1)^{2}}{3}. \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x^{2}-8y^{3} = 2xy(1-2y),\\[4pt] \sqrt{x^{3}+4x} = 1+\dfrac{(2y+1)^{2}}{3}. \end{cases} $$
Πρόβλημα 3
Έστω \(x,y\) θετικοί ακέραιοι με
$$ 2x^{2}+x = 3y^{2}+y. $$
Να αποδειχθεί ότι
$$ \sqrt{6(x+y)^{2}+5(x+y)+1} $$ είναι ακέραιος.
$$ 2x^{2}+x = 3y^{2}+y. $$
Να αποδειχθεί ότι
$$ \sqrt{6(x+y)^{2}+5(x+y)+1} $$ είναι ακέραιος.
Πρόβλημα 4
Έστω τρίγωνο \(ABC\) με πλευρές \(a,b,c\), διαμέσους \(m_a,m_b,m_c\) και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου \(R\).
Αν ισχύει
$$ \frac{a^{2}+b^{2}}{m_{c}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{m_{a}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{m_{b}} = 12R, $$
να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
$$ \frac{a^{2}+b^{2}}{m_{c}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{m_{a}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{m_{b}} = 12R, $$
να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Πρόβλημα 5
Για κάθε μη κενό υποσύνολο \(A\) του συνόλου
$$ X = \{2,3,4,\ldots,2013,2014\}, $$
ορίζουμε το γινόμενο των στοιχείων του. Έστω \(T\) το άθροισμα των αντιστρόφων όλων αυτών των γινομένων. Να υπολογιστεί το \(T\).
$$ X = \{2,3,4,\ldots,2013,2014\}, $$
ορίζουμε το γινόμενο των στοιχείων του. Έστω \(T\) το άθροισμα των αντιστρόφων όλων αυτών των γινομένων. Να υπολογιστεί το \(T\).
Πρόβλημα 6
Έστω \(a,b,c>0\) με \(abc=1\).
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης
$$ P = \frac{1}{a\sqrt{a+b}} + \frac{1}{b\sqrt{b+c}} + \frac{1}{c\sqrt{c+a}}. $$
$$ P = \frac{1}{a\sqrt{a+b}} + \frac{1}{b\sqrt{b+c}} + \frac{1}{c\sqrt{c+a}}. $$
💡 Αν σου αρέσουν τέτοιες προκλήσεις, εξερεύνησε χιλιάδες ακόμη προβλήματα στο EisatoponAI —
Your Daily Experience of Math Adventures.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου