🔵 Το π Είναι Άρρητο και Υπερβατικό - Δύο Αποδείξεις, 121 Χρόνια Απόσταση

📐 Ένα ασυνήθιστο δρόμο μέσω της εφαπτομένης

Το 1761, ο Ελβετο-γερμανός πολυμαθής Johann Heinrich Lambert απέδειξε πρώτος ότι το π είναι άρρητος αριθμός. Η απόδειξή του δεν προσέγγισε το π απευθείας, αλλά μέσω της τριγωνομετρικής συνάρτησης εφαπτομένη: ανέπτυξε τη συνεχή κλασματική παράσταση της tan(x), και έδειξε ότι, για κάθε μη μηδενικό ρητό x, η τιμή tan(x) είναι πάντα άρρητη. Αφού tan(π/4) = 1 είναι ρητός αριθμός, το ίδιο το π/4 έπρεπε να είναι άρρητο — άρα και το π.

Η μέθοδος αμφισβητήθηκε αρχικά ως ελλιπής από κάποιους μεταγενέστερους μαθηματικούς, αλλά αργότερα αποδείχθηκε πλήρως αυστηρή — ο μαθηματικός Pringsheim επιβεβαίωσε το 1898 ότι η απόδειξη του Lambert ήταν όχι μόνο σωστή, αλλά εξαιρετικό επίτευγμα για την εποχή της. Ο ίδιος ο Lambert, μάλιστα, εικαζόταν ήδη τότε πως και το π και το e ήταν πιθανότατα κάτι ακόμη πιο ασυνήθιστο από απλώς άρρητα — μια εικασία που θα επιβεβαιωνόταν πλήρως δεκαετίες αργότερα.

♾️ 121 χρόνια αργότερα: υπερβατικό

Το 1882, ο Γερμανός μαθηματικός Ferdinand von Lindemann πήγε ένα βήμα πολύ παραπέρα, αποδεικνύοντας ότι το π δεν είναι απλώς άρρητο, αλλά υπερβατικό — δηλαδή, δεν υπάρχει κανένα πολυώνυμο με ρητούς (ή ακέραιους) συντελεστές που να έχει το π ως ρίζα του. Ο Lindemann οικοδόμησε την απόδειξή του πάνω στη μέθοδο του Charles Hermite, ο οποίος είχε ήδη αποδείξει το 1873 ότι το e είναι υπερβατικό, συνδυάζοντάς την με την περίφημη ταυτότητα του Euler, e^(iπ) = −1.

Η απόδειξη αυτή έλυσε οριστικά ένα πρόβλημα ηλικίας πάνω από 2.000 ετών από την αρχαία ελληνική γεωμετρία: τον τετραγωνισμό του κύκλου — την κατασκευή, με κανόνα και διαβήτη μόνο, ενός τετραγώνου με ίσο εμβαδόν με δεδομένο κύκλο. Αφού κάθε κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη αριθμός είναι αναγκαστικά αλγεβρικός, η υπερβατικότητα του π απέδειξε πέρα από κάθε αμφιβολία ότι η κατασκευή αυτή είναι, μαθηματικά, εντελώς αδύνατη.

Παρά την οριστική αυτή απόδειξη, το πρόβλημα εξακολούθησε να προσελκύει —και ακόμη προσελκύει— ερασιτέχνες «τετραγωνιστές του κύκλου», πεπεισμένους ότι έχουν βρει λύση εκεί όπου τα μαθηματικά έχουν ήδη αποδείξει, οριστικά, ότι καμία δεν υπάρχει.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →