🔢 Μια Εντυπωσιακά Περίπλοκη Απόδειξη ότι 2 = 2

Πίσω από αυτή τη φαινομενικά τρομακτική εξίσωση, με μιγαδικούς εκθέτες και μια άπειρη σειρά, κρύβεται κάτι εντελώς απλό:

\[ i\,e^{\frac{\pi}{2i}} - i\,e^{\frac{\pi i}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}. \]

Αφού

\[ \frac{1}{i}=-i, \]

το αριστερό μέλος γίνεται

\[ i\left(e^{-i\pi/2}-e^{i\pi/2}\right). \]

Από τον τύπο του Euler γνωρίζουμε ότι

\[ e^{-i\pi/2}=-i \qquad\text{και}\qquad e^{i\pi/2}=i. \]

Επομένως,

\[ i(-i-i)=i(-2i)=2. \]

Στο δεξί μέλος έχουμε μια άπειρη γεωμετρική σειρά με πρώτο όρο 1 και λόγο \(1/2\):

\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \frac{1}{1-\frac12} = 2. \]

2 = 2

Έτσι, οι δύο πλευρές της εντυπωσιακής εξίσωσης δεν εκφράζουν τελικά τίποτε περισσότερο από μια προφανή ταυτότητα.

📚 Στο πνεύμα του Principia Mathematica

Το χιούμορ αυτής της εξίσωσης θυμίζει ένα διάσημο επεισόδιο από την ιστορία της μαθηματικής λογικής.

Στο μνημειώδες τρίτομο έργο Principia Mathematica, που δημοσίευσαν οι Alfred North Whitehead και Bertrand Russell κατά τα έτη 1910, 1912 και 1913, επιχειρήθηκε η θεμελίωση των μαθηματικών πάνω σε ένα αυστηρό σύστημα συμβολικής λογικής.

Στην πρώτη έκδοση του πρώτου τόμου, στη σελίδα 379, εμφανίζεται η πρόταση *54.43, για την οποία οι συγγραφείς σημειώνουν ότι, όταν οριστεί η αριθμητική πρόσθεση, από αυτήν θα προκύψει ότι

\[ 1+1=2. \]

Η πλήρης αριθμητική διατύπωση εμφανίζεται αργότερα, στον δεύτερο τόμο, συνοδευόμενη από τη διάσημη παρατήρηση:

“The above proposition is occasionally useful.”
«Η παραπάνω πρόταση είναι περιστασιακά χρήσιμη».

Συχνά λέγεται ότι οι Whitehead και Russell χρειάστηκαν «379 σελίδες για να αποδείξουν ότι \(1+1=2\)». Η διατύπωση αυτή είναι χαριτωμένη αλλά παραπλανητική: οι προηγούμενες σελίδες δεν αποτελούν μία τεράστια απόδειξη της συγκεκριμένης ισότητας. Χτίζουν από τα θεμέλια ολόκληρο το λογικό σύστημα μέσα στο οποίο μπορεί τελικά να διατυπωθεί και να αποδειχθεί αυστηρά η αριθμητική.

Στο ίδιο πνεύμα υπερβολής, η δική μας εξίσωση μεταμφιέζει την τετριμμένη ισότητα \(2=2\) χρησιμοποιώντας μιγαδικούς εκθέτες, τον τύπο του Euler και μια άπειρη γεωμετρική σειρά.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →