🎲 Ποια Είναι η Πιθανότητα Δύο Τυχαίοι Αριθμοί να Είναι Σχετικά Πρώτοι; (6/π²)

🎲 Γνωρίζατε ότι… 

…η πιθανότητα δύο τυχαία επιλεγμένοι ακέραιοι αριθμοί να είναι σχετικά πρώτοι (δηλαδή, να μην έχουν κανέναν κοινό παράγοντα εκτός του 1) είναι ακριβώς:

\[ \frac{6}{\pi^2} \approx 0{,}6079 \]

Δηλαδή, περίπου 6 στους 10 τυχαίους ακέραιους δεν θα έχουν κανέναν κοινό διαιρέτη.

Ο λόγος κρύβεται στη συνάρτηση ζήτα του Euler: η πιθανότητα ένας τυχαίος ακέραιος να διαιρείται από έναν πρώτο \(p\) είναι \(1/p\), άρα η πιθανότητα να διαιρούνται και οι δύο τυχαίοι ακέραιοι από τον ίδιο πρώτο \(p\) είναι \(1/p^2\). Πολλαπλασιάζοντας τις πιθανότητες «όχι κοινός παράγοντας \(p\)» για κάθε πρώτο \(p\):

\[ \prod_{p \text{ πρώτος}} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \]

χρησιμοποιώντας το περίφημο αποτέλεσμα του Euler ότι \(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\).

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →