🧩 Το Πρόβλημα με τους Πρώτους Παράγοντες - Διαφορά Τετραγώνων

🔢 Το πρόβλημα

Ποιο είναι το άθροισμα όλων των διακριτών πρώτων παραγόντων της παράστασης:

\[ 25^3 - 27^2 \]

🧠 Η βασική παρατήρηση

Παρατηρούμε ότι:

\( 25^3 = (5^2)^3 = 5^6 \)

\( 27^2 = (3^3)^2 = 3^6 \)

Άρα:

\( 25^3 - 27^2 = 5^6 - 3^6 \)

Αυτό είναι μια διαφορά τετραγώνων!

🔍 Δείτε τη λύση

Έχουμε:

\( 5^6 - 3^6 = (5^3)^2 - (3^3)^2 \)

Εφαρμόζουμε τον τύπο \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\( 5^6 - 3^6 = (5^3 - 3^3)(5^3 + 3^3) \)

Υπολογίζουμε:

• \( 5^3 - 3^3 = 125 - 27 = 98 = 2 \cdot 7^2 \)
• \( 5^3 + 3^3 = 125 + 27 = 152 = 2^3 \cdot 19 \)

Άρα:

\( 5^6 - 3^6 = (2 \cdot 7^2)(2^3 \cdot 19) = 2^4 \cdot 7^2 \cdot 19 \)

Οι διακριτοί πρώτοι παράγοντες είναι: \( 2, 7, 19 \).

Το άθροισμά τους είναι:

\[ 2 + 7 + 19 = 28 \]

\[ \boxed{28} \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →