Το Πρόβλημα του Φαραώ και οι Πυθαγόρειες Τριάδες

🏛️ Το πρόβλημα του Φαραώ

Ένας φαραώ διέταξε να χτιστεί ένα γιγάντιο μνημείο σε σχήμα ορθογώνιου κύβου, του οποίου το ύψος θα έπρεπε να είναι ίσο με τη διαγώνιο της βάσης του. Οι διαστάσεις του μνημείου θα έπρεπε να είναι ακέραιοι αριθμοί, και το μνημείο θα χτιζόταν με κυβικές πέτρες όγκου 1 m³.

Ο φαραώ μοίρασε τις πέτρες σε έναν πρώτο αριθμό ιερέων, ο καθένας με ίσο μερίδιο. Πέθανε όμως πριν ολοκληρωθεί το έργο.

Οι αρχαιολόγοι βρήκαν 348.960.150 πέτρες που ανήκαν σε έναν από τους ιερείς. Ο στόχος: να βρεθούν οι αρχικές διαστάσεις του μνημείου.

📐 Πώς λύνεται

Αν η βάση είναι \( a \times b \) και το ύψος \( c \), τότε \( c^2 = a^2 + b^2 \), δηλαδή η τριάδα \( (a, b, c) \) είναι Πυθαγόρεια.

Ο συνολικός όγκος είναι \( a \cdot b \cdot c = p \cdot B \), όπου \( p \) πρώτος αριθμός ιερέων και \( B = 348.960.150 \).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ευκλείδη για τις Πυθαγόρειες τριάδες:

\( a = k(m^2 - n^2), \quad b = 2kmn, \quad c = k(m^2 + n^2) \)

και με ανάλυση σε γινόμενα πρώτων, προκύπτει ότι:

\( m = 5, \quad n = 2, \quad k = 1, \quad p = 2 \)

Άρα το μνημείο είχε διαστάσεις:

\( a = 21, \quad b = 20, \quad c = 29 \)

Δηλαδή: \( 20 \times 21 \times 29 \), με \( 29^2 = 20^2 + 21^2 \).

Αυτό ταιριάζει με το παράδειγμα της εικόνας!

📖 Η ομορφιά των Πυθαγόρειων τριάδων

Το πρόβλημα αυτό συνδυάζει θεωρία αριθμών, γεωμετρία και ιστορικό μυστήριο. Ο τύπος του Ευκλείδη (από τα Στοιχεία, Βιβλίο 10) είναι το κλειδί για την παραγωγή όλων των Πυθαγόρειων τριάδων.

Οι Πυθαγόρειες τριάδες είναι απείρως πολλές και εμφανίζονται παντού — από τα αρχαία μνημεία μέχρι τις σύγχρονες κρυπτογραφικές μεθόδους.

— Η ομάδα του eisatopon.gr

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →