🚢 Η Διαίρεση που Έμοιαζε με Γαλέρα

Πριν από τη σχολική μακρά διαίρεση, ένα πυκνό πλέγμα ψηφίων, διαγραφών και μετακινήσεων κυριαρχούσε στην ευρωπαϊκή αριθμητική.

Γιατί «γαλέρα»; Όταν ολοκληρωνόταν η πράξη, το περίγραμμα των γραμμένων και διαγραμμένων ψηφίων θύμιζε το μακρόστενο σκαρί πλοίου. Γι’ αυτό η μέθοδος ονομάστηκε galley, galea, batello ή «μέθοδος των διαγραφών».

Μια διαφορετική εικόνα της διαίρεσης

Πριν επικρατήσει η μορφή της μακράς διαίρεσης που διδάσκεται σήμερα, η μέθοδος της γαλέρας ήταν ο συνηθέστερος αλγόριθμος διαίρεσης στην Ευρώπη. Ο διαιρέτης μετακινούνταν διαδοχικά κάτω από τον διαιρετέο, ενώ τα ενδιάμεσα ψηφία διαγράφονταν ή αντικαθίσταντο.

Το τελικό γραπτό έμοιαζε περίπλοκο, αλλά η διαδικασία ήταν συστηματική. Ο υπολογιστής δεν χρειαζόταν να γράφει χωριστά ολόκληρα ενδιάμεσα γινόμενα, όπως συμβαίνει συνήθως στη σύγχρονη μακρά διαίρεση.

Ένα αυθεντικό παράδειγμα του 1478

Το ανώνυμο Treviso Arithmetic, που τυπώθηκε το 1478 για τις ανάγκες εμπόρων και μαθητευόμενων, περιέχει το γνωστό παράδειγμα:

65284 ÷ 594 = 109, υπόλοιπο 538

Ο έλεγχος επιβεβαιώνει αμέσως το αποτέλεσμα:

594 × 109 + 538 = 64746 + 538 = 65284

Ο διαιρετέος και ο διαιρέτης τοποθετούνταν σε κατάλληλες θέσεις.

Εκτιμούνταν το επόμενο ψηφίο του πηλίκου.

Τα γινόμενα με τα ψηφία του διαιρέτη αφαιρούνταν κατά στήλες.

Τα παλιά ψηφία διαγράφονταν και τα νέα γράφονταν δίπλα ή επάνω τους.

Ο διαιρέτης μετακινούνταν μία θέση και η ίδια διαδικασία επαναλαμβανόταν.

Ακριβώς αυτές οι αλλεπάλληλες διαγραφές δημιουργούσαν το χαρακτηριστικό «σκαρί». Σε χειρόγραφα οι αριθμοί διαγράφονταν με γραμμές· σε επιφάνειες σκόνης μπορούσαν απλώς να σβηστούν.

Χαρτί, μελάνι και άβακας σκόνης

Η μέθοδος ταίριαζε ιδιαίτερα σε επιφάνειες όπου η διόρθωση ήταν εύκολη. Ένας δίσκος ή πίνακας καλυμμένος με λεπτή σκόνη επέτρεπε στον υπολογιστή να σβήνει και να αντικαθιστά ψηφία χωρίς να γεμίζει το έργο με γραμμές.

Στο χαρτί η ίδια λογική διατηρήθηκε με διαγραφές. Αυτό εξηγεί γιατί τα τυπωμένα παραδείγματα φαίνονται σήμερα τόσο παράξενα: αποτυπώνουν σε στατική μορφή μια διαδικασία που είχε σχεδιαστεί για συνεχή μεταβολή των αριθμών.

Η μεγάλη διαδρομή της μεθόδου

Αρχαία ΑσίαΗ Lam Lay-Yong υποστήριξε ότι ο αλγόριθμος έχει στενή συγγένεια με κινεζικές μεθόδους διαίρεσης που χρησιμοποιούσαν ράβδους υπολογισμού.

Ινδία και ισλαμικός κόσμοςΣυγγενείς διαδικασίες συναντώνται στην ινδική αριθμητική και σε έργα της ισλαμικής μαθηματικής παράδοσης, μεταξύ άλλων στον al-Khwarizmi.

Μεσαιωνική ΕυρώπηΗ μέθοδος πέρασε στα ευρωπαϊκά εγχειρίδια της αριθμητικής και ήταν η συνηθέστερη ευρωπαϊκή μορφή διαίρεσης πριν από το 1600.

Χρειάζεται ιστορική προσοχή: η ακριβής γραμμή μετάδοσης από την Κίνα προς την Ινδία, τον ισλαμικό κόσμο και την Ευρώπη παραμένει αντικείμενο ιστορικής μελέτης. Η ομοιότητα αλγορίθμων δεν αποδεικνύει από μόνη της μια μοναδική, αδιάσπαστη διαδρομή.

Πώς επικράτησε η μακρά διαίρεση

Το 1491, η Aritmetica του Filippo Calandri περιέλαβε την πρώτη γνωστή έντυπη παρουσίαση διαίρεσης στη μορφή που πλησιάζει τη σημερινή. Η νέα διάταξη είχε ένα αποφασιστικό πλεονέκτημα για την εποχή της τυπογραφίας: τα ενδιάμεσα βήματα μπορούσαν να τυπωθούν καθαρά, χωρίς ένα πυκνό δίκτυο διαγραφών.

Η γαλέρα δεν εξαφανίστηκε αμέσως. Παρέμεινε διαδεδομένη και μετά το 1600 και απαντά ακόμη σε αριθμητικά χειρόγραφα και εγχειρίδια του 18ου αιώνα. Σταδιακά, όμως, η μακρά διαίρεση αποδείχθηκε καταλληλότερη για βιβλία, σχολικές αίθουσες και τυποποιημένη διδασκαλία.

Πηγές και περαιτέρω ανάγνωση

1. Lam Lay-Yong, «On the Chinese Origin of the Galley Method of Arithmetical Division», British Journal for the History of Science, 1966.
2. David Eugene Smith, «The First Printed Arithmetic (Treviso, 1478)», Isis, 1924.
3. NRICH — Galley Division.
4. The Metropolitan Museum of Art — Filippo Calandri, De Arithmetica (1491).

Ένας αλγόριθμος φτιαγμένος για το μέσο του

Η γαλέρα δεν ήταν μια πρωτόγονη ή λανθασμένη διαίρεση. Ήταν ένας λειτουργικός αλγόριθμος προσαρμοσμένος σε κόσμους σκόνης, χειρογράφων και διαγραφών. Όταν άλλαξε το μέσο —με την εξάπλωση της τυπογραφίας και της σχολικής γραφής— άλλαξε σταδιακά και η μέθοδος.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →