📐 Οι Τρεις Μεγάλες Λύσεις των Αρχαίων Προβλημάτων - Γεωμετρία και Ιστορία

📐 Τα Τρία Μεγάλα Προβλήματα της Αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας

📜 Τρία απλά ερωτήματα

Τρία προβλήματα κατασκευής απασχόλησαν για αιώνες τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες και αργότερα ολόκληρη τη μαθηματική κοινότητα:

1. Τετραγωνισμός του κύκλου: να κατασκευαστεί τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν δοσμένου κύκλου. Για κύκλο ακτίνας \(r\), η πλευρά του τετραγώνου πρέπει να είναι \(r\sqrt{\pi}\).
2. Διπλασιασμός του κύβου: να κατασκευαστεί κύβος με διπλάσιο όγκο από δοσμένο κύβο. Αν η αρχική ακμή είναι \(a\), η ζητούμενη ακμή είναι \(a\sqrt[3]{2}\).
3. Τριχοτόμηση της γωνίας: να διαιρεθεί μια οποιαδήποτε δοσμένη γωνία σε τρία ίσα μέρη.

Το κρίσιμο ερώτημα ήταν αν οι κατασκευές αυτές μπορούσαν να πραγματοποιηθούν αποκλειστικά με έναν αδιαβάθμητο κανόνα και έναν διαβήτη.

🌙 Ο τετραγωνισμός του κύκλου

Τον 5ο αιώνα π.Χ., ο Ιπποκράτης ο Χίος κατάφερε να τετραγωνίσει ορισμένους μηνίσκους: κατασκεύασε δηλαδή, μόνο με κανόνα και διαβήτη, τετράγωνα με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν συγκεκριμένων σχημάτων που περικλείονται από τόξα κύκλων.

Το αποτέλεσμα ήταν εξαιρετικά σημαντικό, αλλά δεν αποτελούσε τετραγωνισμό του ίδιου του κύκλου.

Ο Αντιφών προσέγγισε το εμβαδόν του κύκλου εγγράφοντας πολύγωνα με ολοένα περισσότερες πλευρές. Η ιδέα του προανήγγειλε μεταγενέστερες μεθόδους προσέγγισης, αλλά δεν έδινε ακριβή κατασκευή με πεπερασμένο αριθμό βημάτων.

Ο Ιππίας ο Ηλείος συνδέεται με την επινόηση μιας ειδικής μηχανικής καμπύλης, της τετραγωνίζουσας ή quadratrix, αρχικά για την τριχοτόμηση μιας γωνίας. Αργότερα, ο Δεινόστρατος χρησιμοποίησε την ίδια καμπύλη για τον τετραγωνισμό του κύκλου.

Η τετραγωνίζουσα έδινε λύση μόνο επειδή επέτρεπε ένα πρόσθετο μηχανικό εργαλείο. Δεν μπορούσε να κατασκευαστεί αποκλειστικά με κανόνα και διαβήτη.

🧊 Ο διπλασιασμός του κύβου

Ο Ιπποκράτης έδειξε ότι το πρόβλημα ισοδυναμεί με την εύρεση δύο μέσων αναλόγων \(x\) και \(y\) μεταξύ των μηκών \(a\) και \(2a\):

\[ \frac{a}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{2a}. \]

Από τις δύο πρώτες ισότητες προκύπτει \(x^2=ay\), ενώ από τις δύο τελευταίες \(y^2=2ax\). Συνδυάζοντάς τες παίρνουμε

\[ x^3=2a^3 \quad\Longrightarrow\quad x=a\sqrt[3]{2}. \]

Οι αρχαίοι γεωμέτρες βρήκαν εντυπωσιακές λύσεις, χρησιμοποιώντας όμως εργαλεία πέρα από τον κανόνα και τον διαβήτη:

• Ο Αρχύτας προσδιόρισε το ζητούμενο μήκος μέσω της τομής τριών επιφανειών στον χώρο.
• Ο Μέναιχμος χρησιμοποίησε την τομή κωνικών τομών, όπως δύο παραβολών ή μιας παραβολής και μιας υπερβολής.
• Ο Νικομήδης χρησιμοποίησε την κογχοειδή καμπύλη.
• Ο Διοκλής μελέτησε για το πρόβλημα την καμπύλη που έγινε γνωστή ως κισσοειδής.

📐 Η τριχοτόμηση της γωνίας

Ορισμένες συγκεκριμένες γωνίες μπορούν να τριχοτομηθούν με κανόνα και διαβήτη. Για παράδειγμα, η ορθή γωνία μπορεί να χωριστεί σε τρεις γωνίες των 30°.

Το κλασικό πρόβλημα, όμως, ζητά μια μέθοδο που να λειτουργεί για κάθε δοσμένη γωνία.

Οι αρχαίοι μαθηματικοί βρήκαν ακριβείς λύσεις χρησιμοποιώντας πρόσθετα μέσα:

• ο Ιππίας χρησιμοποίησε την τετραγωνίζουσα,
• ο Νικομήδης την κογχοειδή,
• άλλες λύσεις βασίστηκαν σε κωνικές τομές ή σε κατασκευές νεύσεως, δηλαδή με σημαδεμένο κανόνα.

Οι λύσεις αυτές ήταν γεωμετρικά έγκυρες, αλλά δεν ικανοποιούσαν τον αυστηρό περιορισμό του αδιαβάθμητου κανόνα και του διαβήτη.

🔒 Γιατί είναι αδύνατα με κανόνα και διαβήτη;

Η οριστική απάντηση δόθηκε τον 19ο αιώνα, όταν η γεωμετρική κατασκευή συνδέθηκε με την άλγεβρα.

Κάθε μήκος που κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη πρέπει να ανήκει σε μια ακολουθία διαδοχικών τετραγωνικών επεκτάσεων. Με απλούστερα λόγια, πρέπει να μπορεί να προκύψει από τους αρχικούς αριθμούς με τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις και με διαδοχικές εξαγωγές τετραγωνικών ριζών.

Αν ένας αλγεβρικός αριθμός είναι κατασκευάσιμος, τότε ο βαθμός του πάνω από τους ρητούς είναι δύναμη του 2. Η συνθήκη αυτή είναι αναγκαία, αλλά δεν αρκεί από μόνη της για κάθε αλγεβρικό αριθμό.

Ο διπλασιασμός του κύβου

Το 1837, ο Pierre Wantzel απέδειξε ότι το \(\sqrt[3]{2}\) δεν είναι κατασκευάσιμο. Το ελάχιστο πολυώνυμό του είναι

\[ x^3-2, \]

το οποίο είναι ανάγωγο πάνω από τους ρητούς και έχει βαθμό 3. Επομένως, ο διπλασιασμός του κύβου είναι αδύνατος με κανόνα και διαβήτη.

Η γενική τριχοτόμηση

Για να τριχοτομήσουμε τη γωνία των 60°, θα έπρεπε να κατασκευάσουμε τη γωνία των 20°. Αν θέσουμε \(t=\cos20^\circ\), από τον τύπο της τριπλής γωνίας προκύπτει

\[ 8t^3-6t-1=0. \]

Το πολυώνυμο αυτό είναι ανάγωγο πάνω από τους ρητούς. Άρα το \(\cos20^\circ\) έχει βαθμό 3 και δεν είναι κατασκευάσιμο. Επομένως, δεν υπάρχει κατασκευή με κανόνα και διαβήτη που να τριχοτομεί κάθε γωνία.

Ο τετραγωνισμός του κύκλου

Το 1882, ο Ferdinand von Lindemann απέδειξε ότι το \(\pi\) είναι υπερβατικός αριθμός: δεν αποτελεί ρίζα κανενός μη μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές.

Εφόσον όλοι οι κατασκευάσιμοι αριθμοί είναι αλγεβρικοί, ούτε το \(\sqrt{\pi}\) μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη. Συνεπώς, είναι αδύνατη η κατασκευή τετραγώνου με εμβαδόν ίσο με εκείνο ενός δοσμένου κύκλου.

Η μεγάλη κληρονομιά τριών αδύνατων προβλημάτων

Τα τρία προβλήματα λύθηκαν με ειδικές καμπύλες και μηχανικές κατασκευές, αλλά αποδείχθηκαν αδύνατα όταν επιβάλλεται αποκλειστική χρήση αδιαβάθμητου κανόνα και διαβήτη. Η μακρόχρονη μελέτη τους συνέβαλε στην ανάπτυξη των κωνικών τομών, των μεθόδων προσέγγισης και, πολύ αργότερα, της αλγεβρικής θεωρίας των κατασκευάσιμων αριθμών.

Πηγές

• MacTutor History of Mathematics – Squaring the Circle
• MacTutor History of Mathematics – Diocles
• Pierre Wantzel, Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas, 1837.
• Ferdinand von Lindemann, Über die Zahl π, 1882.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →