✏️ Η κατασκευή
Ας σχεδιάσουμε μια γραμμή AQ. Με κέντρο το σημείο O, κατασκευάστε πάνω της έναν κύκλο διαμέτρου 3, έτσι ώστε |AO| = 1,5 (κόκκινος κύκλος). Σημειώστε ένα σημείο K στη γραμμή, έτσι ώστε |AK| = 1.
Σχεδιάστε μια γραμμή που διέρχεται από το σημείο K υπό αυθαίρετη γωνία, τέμνοντας τον κύκλο στα σημεία G και E. Προφανώς, σε κάθε περίπτωση, |GK|·|GE| = 2.
Ας σχεδιάσουμε έναν δεύτερο κύκλο, με κέντρο πάνω στη γραμμή AQ και διάμετρο 17, εφαπτόμενο στον πρώτο κύκλο στο σημείο A (μωβ κύκλος). Έστω ότι η γραμμή GE τέμνει τον δεύτερο κύκλο στα σημεία B και C. Προφανώς, σε κάθε περίπτωση, |BK|·|CK| = 16.
Περιστρέφοντας τη γραμμή GE γύρω από το σημείο K, μπορούμε να βρούμε τη θέση της έτσι ώστε |KE| = ∛2 και |GK| = ∛4, δηλαδή |GK| = |EK|².
Περιστρέφοντας την ευθεία BC γύρω από το σημείο K, μπορούμε να βρούμε τη θέση της έτσι ώστε |KC| = 2·∛2 και |GE| = 4·∛4.
Χρησιμοποιώντας ομοιότητα με συντελεστή 2 και κέντρο στο σημείο K, κατασκευάζουμε έναν τρίτο κύκλο (μπλε κύκλος). Το σημείο τομής C του μπλε και του μωβ κύκλου έχει την αξιοσημείωτη ιδιότητα |KE| = |CK| = ∛2.
Ας ελέγξουμε την κατασκευή χρησιμοποιώντας τον κύκλο που προκύπτει με ομοιότητα κέντρου K και συντελεστή 4 (πράσινος κύκλος). Στην τομή του με τον μωβ κύκλο υπάρχει ένα σημείο B τέτοιο ώστε |BK| = 4·|GK| = 4·∛4, δηλαδή |BK| = |CK|². Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι τα σημεία B, K και E βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Έτσι, φαίνεται πως κατασκευάσαμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ίσο με την κυβική ρίζα του 2, λύνοντας το κλασικό πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου!
Γιατί άραγε δεν χαίρονται οι πρόγονοι μας οι αρχαίοι Έλληνες; Μήπως υπήρξε κάποιο λάθος στην κατασκευή μας; Βρείτε το.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου