📐 Μια Συλλογή Γεωμετρικών Προβλημάτων — Από Θέματα Μαθηματικών Διαγωνισμών και Ολυμπιάδων

📐 Μια πρόκληση για λάτρεις της γεωμετρίας

Η παρακάτω συλλογή περιλαμβάνει γεωμετρικά προβλήματα από κορυφαίους διεθνείς διαγωνισμούς: IMO, Vietnam TST, Japan IMO Finals, Ιράν, Ρουμανία και τον Μαθηματικό Διαγωνισμό της Μεσογείου.

Κάθε πρόβλημα είναι μια πρόκληση για την οπτική σκέψη, την αναλυτική ικανότητα και την εφευρετικότητα.

🔴 Πρόβλημα 1

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τέσσερις κύκλους \( S_1, S_2, S_3, S_4 \) που ο καθένας εφάπτεται κυκλικά στους γειτονικούς του κατά τέτοιον τρόπο ώστε: ο \( S_1 \) εφάπτεται στον \( S_2 \) και στον \( S_4 \), ο \( S_2 \) εφάπτεται στον \( S_3 \) και ο \( S_3 \) εφάπτεται στον \( S_4 \).

Να αποδείξετε ότι τα σημεία επαφής είναι ομοκυκλικά.

🟢 Πρόβλημα 2

Έστω \( ABC \) ένα τρίγωνο και \( \omega \) ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Έστω \( AD \) η διχοτόμος της γωνίας \( \angle BAC \), με \( D \) το σημείο τομής της διχοτόμου με την πλευρά \( BC \).

Θεωρούμε τον κύκλο \( K_1 \) που εφάπτεται στον κύκλο \( \omega \), στην \( BD \) και στην \( AD \). Επίσης τον κύκλο \( K_2 \) που εφάπτεται στον κύκλο \( \omega \), στην \( CD \) και στην \( AD \).

Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι \( K_1 \) και \( K_2 \) εφάπτονται στο σημείο \( I \), το οποίο είναι το έγκεντρο του τριγώνου \( ABC \).

🟠 Πρόβλημα 3

Έστω \( ABC \) ένα τρίγωνο με εγγεγραμμένο κύκλο \( (I) \). Έστω \( (K_a) \) ένας κύκλος που διέρχεται από την κορυφή \( A \) του τριγώνου \( ABC \). Το κέντρο του κύκλου αυτού είναι το \( K_a \) και ισχύει ότι \( AK_a \perp BC \). Ο κύκλος \( (K_a) \) εφάπτεται εσωτερικά στον κύκλο \( (I) \) στο σημείο \( A_1 \).

Με όμοιο τρόπο ορίζουμε τα σημεία \( B_1 \) και \( C_1 \).

Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \( AA_1, BB_1, CC_1 \) συντρέχουν.

🔴 Πρόβλημα 4

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ημικύκλιο \( H \) με διάμετρο \( PQ \). Ο κύκλος \( O \) είναι εσωτερικά εφαπτόμενος στο \( H \) και στην \( PQ \) στο σημείο \( C \).

Έστω \( A \) ένα σημείο πάνω στο ημικύκλιο \( H \) και \( B \) ένα σημείο πάνω στην \( PQ \) τέτοιο ώστε το \( AB \) να είναι κάθετο στην \( PQ \) και επίσης εφαπτόμενο στο \( O \).

Να αποδειχθεί ότι η \( AC \) διχοτομεί την γωνία \( \angle PAB \).

🟢 Πρόβλημα 5

Έστω \( ABC \) ένα τρίγωνο με έγκεντρο το σημείο \( I \). Ένα σημείο \( P \) στο εσωτερικό του τριγώνου ικανοποιεί την σχέση:

\( \angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB \)

Να δειχθεί ότι \( AP \geq AI \) και ότι η ισότητα ισχύει μόνο όταν \( P = I \).

🟠 Πρόβλημα 6

Έστω \( ABC \) ένα τρίγωνο (όχι ισόπλευρο) με έγκεντρο \( I \), και \( D, E, F \) τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές \( BC, CA, AB \) αντίστοιχα.

Να αποδειχθεί ότι το ορθόκεντρο του τριγώνου \( DEF \) βρίσκεται πάνω στην ευθεία \( OI \), όπου \( O \) είναι το περίκεντρο του τριγώνου \( ABC \).

🔴 Πρόβλημα 7

Ας υποθέσουμε ότι \( p \) είναι η ημιπερίμετρος ενός τριγώνου \( ABC \). Τα σημεία \( E \) και \( F \) λαμβάνονται πάνω στην ευθεία \( AB \) έτσι ώστε \( CE = CF = p \).

Αποδείξτε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \( EFC \) είναι εφαπτόμενος στον παρεγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου \( ABC \) που αντιστοιχεί στην πλευρά \( AB \).

🟢 Πρόβλημα 8

Έστω \( A \) ένα σταθερό σημείο του επιπέδου και \( d \) μια σταθερή ευθεία του επιπέδου (το \( A \) δεν ανήκει στην \( d \)). Δύο σημεία \( M, N \) ανήκουν στην ευθεία \( d \) και μεταβάλλονται έτσι ώστε η γωνία \( \angle NAM \) να είναι σταθερή.

Να αποδείξετε ότι ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία \( M, N, A \) είναι πάντοτε εφαπτόμενος σε ένα σταθερό κύκλο.

🟠 Πρόβλημα 9

Δίνονται δύο κύκλοι \( (O_1) \) και \( (O_2) \) που τέμνονται στα σημεία \( A \) και \( B \). Με κέντρο το σημείο \( A \) γράφουμε έναν κύκλο \( (A) \) που τέμνει τον κύκλο \( (O_1) \) στα σημεία \( C, C' \) και τον κύκλο \( (O_2) \) στα σημεία \( D, D' \).

Οι ευθείες \( CC' \) και \( DD' \) τέμνουν αντιστοίχως τους κύκλους \( (O_1) \) και \( (O_2) \) στα ζεύγη σημείων \( E, E' \) και \( F, F' \) (τα \( E, F \) βρίσκονται κοντά στο \( A \)).

Αποδείξτε ότι οι ευθείες \( EF' \) και \( E'F \) διέρχονται από το σημείο \( A \).

🔴 Πρόβλημα 10

Δίνεται ένας κύκλος \( (K) \), ένα σημείο \( A \) εσωτερικό του κύκλου και μια ευθεία \( t \), που τέμνει τον κύκλο και η οποία δεν διέρχεται από το \( A \).

Να βρεθεί ο κύκλος του οποίου το κέντρο ανήκει στην ευθεία \( t \), διέρχεται από το σημείο \( A \) και εφάπτεται στον κύκλο \( (K) \).

🟢 Πρόβλημα 11

Έστω ο κύκλος \( \Sigma \) με κέντρο \( O \) και η ευθεία γραμμή \( ST \) που αποκόπτει από τον κύκλο \( \Sigma \) το κυκλικό τμήμα \( STS \).

Κύκλοι εγγράφονται στο τμήμα και για κάθε τέτοιο κύκλο τα σημεία επαφής \( A, B \) συνδέονται με την αντίστοιχη ευθεία γραμμή.

Να αποδειχθεί ότι όλες αυτές οι ευθείες γραμμές συντρέχουν στο μέσο \( M \) του τόξου \( ST \) που είναι το αντικείμενο τόξο του τόξου \( STS \).

🟠 Πρόβλημα 12

Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων επαφής των περιφερειών των εφαπτόμενων ανά δύο μεταξύ τους, που είναι επίσης εφαπτόμενες σε δύο άλλες δεδομένες περιφέρειες;

🔴 Πρόβλημα 13

Στο τρίγωνο \( ABC \) οι διχοτόμοι των γωνιών \( B \) και \( C \) τέμνονται στο σημείο \( E \). Το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \( BCE \) είναι ίσο με \( q \).

Αν δίνεται ότι \( BC = d \), να βρείτε το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο \( ABC \).

🟢 Πρόβλημα 14

Θεώρημα των επτά περιφερειών

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τους κύκλους \( \Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3, \Gamma_4, \Gamma_5, \Gamma_6 \) οι οποίοι εφάπτονται σε έναν κύκλο \( \Gamma \) στα σημεία \( A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6 \) αντίστοιχα.

Οι κύκλοι \( \Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3, \Gamma_4, \Gamma_5, \Gamma_6 \) εφάπτονται μεταξύ τους: ο \( \Gamma_1 \) με τον \( \Gamma_2 \), ο \( \Gamma_2 \) με τον \( \Gamma_3 \), ο \( \Gamma_3 \) με τον \( \Gamma_4 \), ο \( \Gamma_4 \) με τον \( \Gamma_5 \), ο \( \Gamma_5 \) με τον \( \Gamma_6 \) και ο \( \Gamma_6 \) με τον \( \Gamma_1 \).

Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες \( A_1A_4 \), \( A_2A_5 \) και \( A_3A_6 \) συντρέχουν.

🟠 Πρόβλημα 15

Δίνεται ένας κύκλος \( \Sigma \) με κέντρο το σημείο \( O \) και διάμετρο \( AC \) και ένα σημείο \( B \) πάνω στην \( AC \). Σχηματίζουμε τον κύκλο \( \Gamma \) με κέντρο το \( P \) και διάμετρο την \( AB \) και ένα ισοσκελές τρίγωνο \( BCE \) με το σημείο \( E \) πάνω στον κύκλο \( \Sigma \).

Ο κύκλος \( \Omega \) με κέντρο το \( Q \) είναι εγγεγραμμένος στο καμπυλόγραμμο τρίγωνο που δημιουργείται από τους κύκλους \( \Sigma \) και \( \Gamma \) και την ευθεία \( BE \).

Να αποδειχθεί ότι το \( QB \) είναι κάθετο στο \( AC \).

🔴 Πρόβλημα 16

Οι εικόνες των πλευρών ενός τριγώνου μέσω της αντιστροφής ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου είναι τρεις κύκλοι οι οποίοι έχουν ίση ακτίνα και οι οποίοι διέρχονται από το έγκεντρο.

Ο κύκλος που διέρχεται από το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων αυτών είναι η εικόνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

🟢 Πρόβλημα 17

Ας υποθέσουμε ότι \( PQ \) είναι η διάμετρος ενός κύκλου και \( A, B \) δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία πάνω στον κύκλο αυτό και στο ίδιο ημικύκλιο με διάμετρο την \( PQ \).

Έστω \( C \) το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου στα σημεία \( A \) και \( B \). Η εφαπτόμενη στον κύκλο στο σημείο \( Q \) τέμνει τις \( PB \) και \( PA \) στα σημεία \( B' \) και \( A' \) αντίστοιχα και την \( PC \) στο \( C' \).

Να αποδειχθεί ότι το \( C' \) είναι το μέσο του \( A'B' \).

🟠 Πρόβλημα 18

Έστω \( AB \) ένα ευθύγραμμο τμήμα. Κατασκευάζουμε το ημικύκλιο με διάμετρο την \( AB \) και κέντρο το σημείο \( O \). Μια ευθεία τέμνει το ημικύκλιο αυτό στα σημεία \( C, D \) και το ευθύγραμμο τμήμα \( AB \) στο σημείο \( M \) (με \( MD < MC \) και \( MB < MA \)).

Έστω \( K \) το δεύτερο σημείο στο οποίο τέμνονται οι κύκλοι \( (O, A, C) \) και \( (O, B, D) \).

Δείξτε ότι \( \angle MKO = 90^\circ \).

🔴 Πρόβλημα 19

Έστω ότι το \( ABC \) είναι ένα τρίγωνο και το σημείο \( D \) είναι σημείο της πλευράς \( BC \). Δύο κύκλοι \( (K_1) \) και \( (K_2) \) εφάπτονται εξωτερικά στην \( AD \) στο \( M \). Οι κύκλοι αυτοί εφάπτονται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου \( ABC \). Επίσης εφάπτονται ο ένας στο τμήμα \( BD \) και ο άλλος στο \( DC \).

Να αποδειχθεί ότι η \( AD \) διχοτομεί την γωνία \( A \).

🟢 Πρόβλημα 20

Δίνεται ένα τρίγωνο \( ABC \) στο οποίο είναι περιγεγραμμένος ο κύκλος \( \gamma \). Έστω \( \kappa \) ο κύκλος που εφάπτεται με τον κύκλο \( \gamma \) στο σημείο \( A \) και με την πλευρά \( BC \) στο σημείο \( F \).

Αν \( E \) είναι το άλλο σημείο στο οποίο ο κύκλος \( \kappa \) τέμνει την πλευρά \( AC \), τότε:

• Να αποδειχθεί ότι η ευθεία \( AF \) διχοτομεί την γωνία \( \angle CAB \).
• Αν \( U, V \) είναι δύο σημεία στον κύκλο \( \gamma \) έτσι ώστε \( CV = CU = CF \), τότε η \( UV \) εφάπτεται στον κύκλο \( \kappa \) στο σημείο \( E \).2004

🟠 Πρόβλημα 21

Έστω ένα τρίγωνο \( ABC \). Έστω ένα σημείο \( X \) στο εσωτερικό του τριγώνου \( ABC \) και \( Y \) το σημείο τομής των \( AX \) και \( BC \). Φέρνουμε τις κάθετες \( YP, YQ, YR, YS \) προς τις ευθείες \( CA, CX, BX, BA \) αντίστοιχα.

Να διατυπωθούν οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το \( PQRS \) να είναι εγγράψιμο τετράπλευρο.

🔴 Πρόβλημα 22

Έστω \( R \) η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου σε ένα τρίγωνο \( ABC \) και \( r \) η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο \( ABC \). Το σημείο \( O \) είναι το περίκεντρο και \( I \) είναι το έγκεντρο.

Να αποδείξετε ότι:

\( OI^2 = R^2 - 2Rr \)

— Euler

🟢 Πρόβλημα 23

Έστω \( \kappa \) και \( \kappa' \) δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το σημείο \( O \) και ακτίνες \( \rho \) και \( \rho' \) αντίστοιχα (με \( \rho < \rho' \)).

Μια ημιευθεία \( Ox \) τέμνει τον κύκλο \( \kappa \) σε ένα σημείο \( A \). Η αντικείμενη ημιευθεία τέμνει τον κύκλο \( \kappa' \) στο σημείο \( B \). Μια τρίτη ημιευθεία \( Ot \) (διαφορετική από τις δύο προηγούμενες) τέμνει τον κύκλο \( \kappa \) στο σημείο \( E \) και τον κύκλο \( \kappa' \) στο \( F \).

Να αποδειχθεί ότι οι ακόλουθοι κύκλοι:

1. Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία \( O, A, E \)
2. Ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία \( O, B, F \)
3. Ο κύκλος που έχει διάμετρο την \( EF \)
4. Ο κύκλος που έχει διάμετρο την \( AB \)

διέρχονται από το ίδιο σημείο.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →